Maximize f(x, y, z) = x + 2y + 3z sujeita às restrições x^2 + y^2 + z^2 = 4 e x + y + z = 1 .

Passo 1

Em temos de nomenclatura, neste exercício identificamos:

f = x + 2 y + 3 z  

g = x 2 + y 2 + z 2 - 4

h =   x + y + z - 1

Lembrando que a f sempre vai ser a função que queremos minimizar/maximizar e g (e h ) sempre representará uma restrição na forma g = 0 .

Agora, devemos resolver o sisteminha

∇ f = λ ∇ g + μ ∇ h g = 0 h = 0

Para achar os pontos de máximo/mínimo.

Passo 2

Vamos começar calculando o vetor ∇ f :

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z = 1,2 , 3

Ótimo! Agora façamos o mesmo para o vetor ∇ g :

∇ g = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y , ∂ g ∂ z = 2 x , 2 y , 2 z

Tranquilo! Agora façamos o mesmo para o vetor ∇ h :

∇ h = ∂ h ∂ x , ∂ h ∂ y , ∂ h ∂ z = 1,1 , 1

E pronto, já temos os gradientes!

Passo 3

Agora, vamos substituir ∇ f , ∇ g e ∇ h no sisteminha ∇ f = λ ∇ g + μ ∇ h g = 0 h = 0 , o que nos fornece:

1,2 , 3 = λ 2 x , 2 y , 2 z + μ 1,1 , 1 x 2 + y 2 + z 2 - 4 = 0   x + y + z - 1 = 0

Lembra-se que este sisteminha na verdade representa 5 equações:

1 = 2 x λ + μ 2 = 2 y λ + μ 3 = 2 z λ + μ x 2 + y 2 + z 2 - 4 = 0   x + y + z - 1 = 0

Agora, para resolver, o mais sensato é isolar x , y e z nas três primeiras equações:

x = 1 - μ 2 λ y = 2 - μ 2 λ z = 3 - μ 2 λ

Substituindo isto nas últimas equações do sisteminha, ficamos com

1 - μ 2 λ 2 + 2 - μ 2 λ 2 + 3 - μ 2 λ 2 - 4 = 0 1 - μ 2 λ + 2 - μ 2 λ + 3 - μ 2 λ - 1 = 0

Desenvolvendo os quadrados e rearranjando,

14 - 12 μ + 3 μ 2 = 16 λ 2 6 - 3 μ = 2 λ

Haja sisteminha! Vamos fazer uma manipulação estratégica multiplicando por 2 a segunda equação e elevando ao quadrado:

14 - 12 μ + 3 μ 2 = 16 λ 2 12 - 6 μ 2 = 16 λ 2

Subtraindo uma equação da outra, chegamos a

14 - 12 μ + 3 μ 2 - 12 - 6 μ 2 = - 130 + 132 μ - 33 μ 2 = 0

Finalmente, a solução é μ = 2 ± 2 33 , ou seja, μ 1 = 2 + 2 33 e μ 2 = 2 - 2 33 . E, voltando no sisteminha, encontramos também λ = ± 3 - 3 2 μ = ± 3 - 3 2 2 ± 2 33 , ou seja

λ = ± ∓ 3 2 2 33

A equação acima só tem duas soluções: λ 1 = 3 2 2 33 e λ 2 = - 3 2 2 33 . Agora ferrou! Temos μ 1 , μ 2 , λ 1 e λ 2 no jogo! Quais escolhemos afinal?

Passo 4

O problema exige que MAXIMIZEMOS f x , y , z = x + 2 y + 3 z . Como fica isto em termos de λ e μ ? Vamos averiguar isto substituindo as relações para x , y e z :

f x , y , z = 1 - μ 2 λ + 2 2 - μ 2 λ + 3 3 - μ 2 λ

Manipulando:

f x , y , z = 14 - 6 μ 2 λ

Ou seja: a f decresce com μ e com λ ! Logo, para maximizar, devemos tomar os menores valores possíveis (positivos), isto é μ = 2 - 2 33 e λ = 3 2 2 33 !!

Agora que saímos os valores de λ e μ , o resultado é direto: vamos recuperar x , y e z através do sisteminha:

x = 1 - μ 2 λ y = 2 - μ 2 λ z = 3 - μ 2 λ

Assim, para é μ = 2 - 2 33 e λ = 3 2 2 33 , podemos tirar que

x = 1 - 33 2 3 y = 1 3 z = 1 + 33 2 3

Assim, as coordenadas ( x , y , z ) do máximo são:

1 - 33 2 3 ,   1 3 , 1 + 33 2 3

Esta questão é realmente pâ acabâ qualquer um ein!

Resposta

1 - 33 2 3 ,   1 3 , 1 + 33 2 3

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