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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.5 - Ex. 10

Maximize f (x , y , z) = x + 2 y + 3 z sujeita às restrições x^2 + y^2 + z^2 = 4 e x + y + z = 1 .

Passo 1

Em temos de nomenclatura, neste exercício identificamos:

f = x + 2 y + 3 z

g = x^2 + y^2 + z^2 - 4

h = x + y + z - 1

Lembrando que a f sempre vai ser a função que queremos minimizar/maximizar e g (e h ) sempre representará uma restrição na forma g = 0 .

Agora, devemos resolver o sisteminha

{[[[[grad f = lambda grad g + mu grad h],[g = 0]]],[h,=,0]])

Para achar os pontos de máximo/mínimo.

Passo 2

Vamos começar calculando o vetor grad f :

grad f = ((del f)/(del x) , (del f)/(del y) , (del f)/(del z)) = (1,2 , 3)

Ótimo! Agora façamos o mesmo para o vetor grad g :

grad g = ((del g)/(del x) , (del g)/(del y) , (del g)/(del z)) = (2 x , 2 y , 2 z)

Tranquilo! Agora façamos o mesmo para o vetor grad h :

grad h = ((del h)/(del x) , (del h)/(del y) , (del h)/(del z)) = (1,1 , 1)

E pronto, já temos os gradientes!

Passo 3

Agora, vamos substituir grad f , grad g e grad h no sisteminha {[[[[grad f = lambda grad g + mu grad h],[g = 0]]],[h,=,0]]) , o que nos fornece:

{[[[[(1,2 , 3) = lambda (2 x , 2 y , 2 z) + mu (1,1 , 1)],[x^2 + y^2 + z^2 - 4 = 0]]],[,x,+,y,+,z,-,1,=,0]])

Lembra-se que este sisteminha na verdade representa 5 equações:

{[[[[[[1 = 2 x lambda + mu],[2 = 2 y lambda + mu]]],[3,=,2,z,lambda,+,mu],[x^2,+,y^2,+,z^2,-,4,=,0]]],[,x,+,y,+,z,-,1,=,0]])

Agora, para resolver, o mais sensato é isolar x , y e z nas três primeiras equações:

{[[x = (1 - mu)/(2 lambda)],[y = (2 - mu)/(2 lambda)],[z = (3 - mu)/(2 lambda)]])

Substituindo isto nas últimas equações do sisteminha, ficamos com

{[[((1 - mu)/(2 lambda))^2 + ((2 - mu)/(2 lambda))^2 + ((3 - mu)/(2 lambda))^2 - 4 = 0],[(1 - mu)/(2 lambda) + (2 - mu)/(2 lambda) + (3 - mu)/(2 lambda) - 1 = 0]])

Desenvolvendo os quadrados e rearranjando,

{[[14 - 12 mu + 3 mu^2 = 16 lambda^2],[6 - 3 mu = 2 lambda]])

Haja sisteminha! Vamos fazer uma manipulação estratégica multiplicando por 2 a segunda equação e elevando ao quadrado:

{[[14 - 12 mu + 3 mu^2 = 16 lambda^2],[(12 - 6 mu)^2 = 16 lambda^2]])

Subtraindo uma equação da outra, chegamos a

14 - 12 mu + 3 mu^2 - (12 - 6 mu)^2 = - 130 + 132 mu - 33 mu^2 = 0

Finalmente, a solução é mu = 2 +- sqrt((2)/(33)) , ou seja, mu_1 = 2 + sqrt((2)/(33)) e mu_2 = 2 - sqrt((2)/(33)) . E, voltando no sisteminha, encontramos também lambda = +- (3 - (3)/(2) mu) = +- (3 - (3)/(2) (2 +- sqrt((2)/(33)))) , ou seja

lambda = +- (∓ (3)/(2) sqrt((2)/(33)))

A equação acima só tem duas soluções: lambda_1 = (3)/(2) sqrt((2)/(33)) e lambda_2 = - (3)/(2) sqrt((2)/(33)) . Agora ferrou! Temos mu_1 , mu_2 , lambda_1 e lambda_2 no jogo! Quais escolhemos afinal?

Passo 4

O problema exige que MAXIMIZEMOS f (x , y , z) = x + 2 y + 3 z . Como fica isto em termos de lambda e mu ? Vamos averiguar isto substituindo as relações para x , y e z :

f (x , y , z) = (1 - mu)/(2 lambda) + 2 ((2 - mu)/(2 lambda)) + 3 ((3 - mu)/(2 lambda))

Manipulando:

f (x , y , z) = (14 - 6 mu)/(2 lambda)

Ou seja: a f decresce com mu e com lambda ! Logo, para maximizar, devemos tomar os menores valores possíveis (positivos), isto é mu = 2 - sqrt((2)/(33)) e lambda = (3)/(2) sqrt((2)/(33)) !!

Agora que saímos os valores de lambda e mu , o resultado é direto: vamos recuperar x , y e z através do sisteminha:

{[[x = (1 - mu)/(2 lambda)],[y = (2 - mu)/(2 lambda)],[z = (3 - mu)/(2 lambda)]])

Assim, para é mu = 2 - sqrt((2)/(33)) e lambda = (3)/(2) sqrt((2)/(33)) , podemos tirar que

{[[x = (1 - sqrt((33)/(2)))/(3)],[y = (1)/(3)],[z = (1 + sqrt((33)/(2)))/(3)]])

Assim, as coordenadas ( x , y , z ) do máximo são:

((1 - sqrt((33)/(2)))/(3) , (1)/(3) , (1 + sqrt((33)/(2)))/(3))

Esta questão é realmente pâ acabâ qualquer um ein!

Resposta

((1 - sqrt((33)/(2)))/(3) , (1)/(3) , (1 + sqrt((33)/(2)))/(3))

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