Se 9x^2 = (y-3)^2 , mostre que

d\*s^2 = ((y+1)^2) / (4y) \* d\*y^2

Passo 1

Vamos começar vendo como é a fórmula do d s 2 :

d s 2 = d x 2 + d y 2

Repare que no enunciado ele quer que sobre um d y 2 ali no termo certo? Vamos coloca-lo em evidência na fórmula do d s 2

d s 2 = d y 2 d x 2 d y 2 + 1

Arrumando aquele termo ao quadrado dentro do parêntes, para aparecer a derivada, vamos ter:

d s 2 = d y 2 d x d y 2 + 1

Entao para acharmos a fórmula do d s 2 , precisamos achar a derivada de x em relação a y

Passo 2

Vamos derivadar implicitamente. Ou seja, quando derivamos o x , vai aparecer sempre um x ' porque o x é uma função de y .

Temos que derivar a seguinte equação:

9 x 2 = y y - 3 2

Derivando dos dois lados, teremos:

9 x 2 ' = y y - 3 2 '

18 x x ' = y y - 3 2 '

Não equeça do x ' ali junto do x beleza?

Para derivar o lado direito, vamos usar a regra do produto:

18 x x ' = y ' y - 3 2 + y y - 3 2 '

18 x x ' = 1 y - 3 2 + y 2 y - 3

18 x x ' = y - 3 2 + 2 y y - 3

Vamos colocar o y - 3 em evidência:

18 x x ' = y - 3 y - 3 + 2 y

18 x x ' = y - 3 3 y - 3

Podemos colocar o 3 em evidência no segundo parênteses:

18 x x ' = 3 y - 3 y - 1

Vamos isolar o x '

x ' = 3 y - 3 y - 1 18 x

x ' = y - 3 y - 1 6 x

Lembrando que

x ' = d x d y

Vamos ter:

d x d y = y - 3 y - 1 6 x

Passo 3

Voltando para a fórmula do d s 2

d s 2 = d y 2 d x d y 2 + 1

Vamos substituir a derivada que achamos no último passo:

d s 2 = d y 2 y - 3 y - 1 6 x 2 + 1

d s 2 = d y 2 y - 3 2 y - 1 2 36 x 2 + 1

Essa não é exatamente a fórmula que ele deu né? Isso porque ele pegou o valor de x 2 pela equação inicial e substituiu ali. Assim oh:

9 x 2 = y y - 3 2

x 2 = y y - 3 2 9

Substituindo:

d s 2 = d y 2 y - 3 2 y - 1 2 36 y y - 3 2 9 + 1

d s 2 = d y 2 y - 3 2 y - 1 2 4 y y - 3 2 + 1

Simplificando o y - 3 2

d s 2 = d y 2 y - 1 2 4 y + 1

Vamos igualar os denominadores:

d s 2 = d y 2 y - 1 2 + 4 y 4 y

Abrindo aquele quadrado:

d s 2 = d y 2 y 2 - 2 y + 1 + 4 y 4 y

d s 2 = d y 2 y 2 + 2 y + 1 4 y

Aquele termo no numerador, é um trinômio quadrado perfeito:

y 2 + 2 y + 1 = y + 1 2

Logo:

d s 2 = d y 2 y + 1 2 4 y

d s 2 = d y 2 y + 1 2 4 y

Que é exatamente o que ele pediu.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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