Se 9 x^2 = y (y - 3)^2 , mostre que d s^2 = ((y + 1)^2)/(4 y) d y^2

Enunciado

Vamos começar vendo como é a fórmula do :

Repare que no enunciado ele quer que sobre um ali no termo certo? Vamos coloca-lo em evidência na fórmula do

Arrumando aquele termo ao quadrado dentro do parêntes, para aparecer a derivada, vamos ter:

Entao para acharmos a fórmula do , precisamos achar a derivada de em relação a

Vamos derivadar implicitamente. Ou seja, quando derivamos o , vai aparecer sempre um porque o é uma função de .

Temos que derivar a seguinte equação:

Derivando dos dois lados, teremos:

Não equeça do ali junto do beleza?

Para derivar o lado direito, vamos usar a regra do produto:

Vamos colocar o em evidência:

Podemos colocar o em evidência no segundo parênteses:

Vamos isolar o

Lembrando que

Vamos ter:

Voltando para a fórmula do

Vamos substituir a derivada que achamos no último passo:

Essa não é exatamente a fórmula que ele deu né? Isso porque ele pegou o valor de pela equação inicial e substituiu ali. Assim oh:

Substituindo:

Simplificando o

Vamos igualar os denominadores:

Abrindo aquele quadrado:

Aquele termo no numerador, é um trinômio quadrado perfeito:

Logo:

Que é exatamente o que ele pediu.

Ei, a resposta está no passo a passo :)