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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.2 - Ex. 4

Nos Exercícios 1-4, mostre que cada função y = f ( x ) é uma solução da equação diferencial que a acompanha.

4. y = 1 1 + x 4 ∫ 1 x 1 + t 4 d t ,   y ' + 2 x 3 1 + x 4 y = 1

Passo 1

Então pessoal, o que precisamos fazer aqui é derivar a função y = f ( x ) que nos foi dada e depois substituir o valor de y ' que encontrarmos no formato da equação diferencial que também foi cedido pelo enunciado, que é:

y ' + 2 x 3 1 + x 4 y = 1

Não se assustem com aquela integral na função y , vocês verão que ela não nos trará nenhum problema. Utilizando a regra do produto para derivar y , teremos:

y ' = u ' . v + u . v '

No qual:

u = 1 1 + x 4 ,   u ' = - 1 2 . 1 + x 4 - 3 2 . 4 x ³

v = ∫ 1 x 1 + t 4 d t ,   v ' = 1 + x 4

Na derivada de de v vale ressaltar que utilizamos o teorema fundamental do cálculo, ok? Caso você não se lembre muito bem disso, dá uma relembrada lá no capítulo 5 do George, tranquilão? Ademais, na derivada de u a regra utilizada foi a regra da cadeia.

Passo 2

Agora que temos todos os dados, basta substituirmos lá na nossa y ' , se liga:

y ' = u ' . v + u . v '

∴ y ' = - 1 2 . 1 + x 4 - 3 2 . 4 x 3 . ∫ 1 x 1 + t 4 d t + 1 1 + x 4 . 1 + x 4

Agora que encontramos y ' , basta substituirmos na equação diferencial:

y ' + 2 x 3 1 + x 4 y = 1

- 1 2 1 + x 4 - 3 2 . 4 x 3 ∫ 1 x 1 + t 4 d t + 1 1 + x 4 1 + x 4 + 2 x 3 1 + x 4 . 1 1 + x 4 ∫ 1 x 1 + t 4 d t = 1

- 1 2 1 + x 4 - 3 2 . 4 x 3 ∫ 1 x 1 + t 4 d t + 1 + 2 x 3 1 + x 4 3 2 . ∫ 1 x 1 + t 4 d t = 1

∴ 1 = 1

C.Q.D.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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