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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.5 - Ex. 85

Mostre que

underset(k -> oo)(l i m) (1 + (r)/(k)) ^k = e ^r

Passo 1

Primeiro iremos usar a regra

a ^b = e ^(b l n a)

para reescrever o limite.

Passo 2

Temos então:

underset(k -> oo)(l i m) (1 + (r)/(k)) ^k = underset(k -> oo)(l i m) e ^(k l n (1 + (r)/(k)))

Usando as propriedades do limite:

underset(k -> oo)(l i m) e ^(k l n (1 + (r)/(k))) = e ^(underset(k -> oo)(l i m) k l n (1 + (r)/(k)))

Passo 3

Agora iremos calcular apenas o limite do expoente:

underset(k -> oo)(l i m) k l n (1 + (r)/(k))

Passo 4

Se a gente substituir o limite na função, temos uma indeterminação do tipo oo * 0 , então iremos ajeita essa função para que tenhamos 0/0 ou oo // oo :

underset(k -> oo)(l i m) k l n (1 + (r)/(k)) = underset(k -> oo)(l i m) (l n (1 + (r)/(k)))/((1)/(k)) = (0)/(0)

Passo 5

Podemos agora aplicar LH, derivando em cima e em baixo:

underset(k -> oo)(l i m) (l n (1 + (r)/(k)))/((1)/(k)) = underset(k -> oo)(l i m) ((1)/((1 + (r)/(k))) * (1 + (r)/(k)) ')/(- (1)/(k ^2)) = underset(k -> oo)(l i m) ((1)/((1 + (r)/(k))) * (- (r)/(k ^2)))/(- (1)/(k ^2))

underset(k -> oo)(l i m) (r)/(1 + (r)/(k))

Passo 6

Como fugimos da indeterminação, agora podemos substituir o limite:

underset(k -> oo)(l i m) (r)/(1 + (r)/(k)) = (r)/(1 + (r)/(oo)) = r

Pondo de volta na função original :

underset(k -> oo)(l i m) (1 + (r)/(k)) ^k = underset(k -> oo)(l i m) e ^(k l n (1 + (r)/(k))) = e ^(underset(k -> oo)(l i m) k l n (1 + (r)/(k))) = e ^r

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Use Lh’ospital o limite underset(theta - 0)(lim) (3^(theta) - 1)/(theta)
Use Lh’ospital o limiteunderset(x - 0)(lim) (2^(- s e n x) - 1)/(e^x - 1)
Use Lh’hospital para determinar o limite underset(x - 0)(lim) (2^(s e n x) - 1)/(e^x - 1)
Use Lh’ospital para determinar o limiteunderset(x - 0^+)(lim) sqrt(x) s e c x