Mostre que

lim_{k → ∞} (1 + r / k)^k = e^r

Passo 1

Primeiro iremos usar a regra

a ^b = e ^(b l n a)

para reescrever o limite.

Passo 2

Temos então:

underset(k -> oo)(l i m) (1 + (r)/(k)) ^k = underset(k -> oo)(l i m) e ^(k l n (1 + (r)/(k)))

Usando as propriedades do limite:

underset(k -> oo)(l i m) e ^(k l n (1 + (r)/(k))) = e ^(underset(k -> oo)(l i m) k l n (1 + (r)/(k)))

Passo 3

Agora iremos calcular apenas o limite do expoente:

underset(k -> oo)(l i m) k l n (1 + (r)/(k))

Passo 4

Se a gente substituir o limite na função, temos uma indeterminação do tipo oo * 0 , então iremos ajeita essa função para que tenhamos 0/0 ou oo // oo :

underset(k -> oo)(l i m) k l n (1 + (r)/(k)) = underset(k -> oo)(l i m) (l n (1 + (r)/(k)))/((1)/(k)) = (0)/(0)

Passo 5

Podemos agora aplicar LH, derivando em cima e em baixo:

underset(k -> oo)(l i m) (l n (1 + (r)/(k)))/((1)/(k)) = underset(k -> oo)(l i m) ((1)/((1 + (r)/(k))) * (1 + (r)/(k)) ')/(- (1)/(k ^2)) = underset(k -> oo)(l i m) ((1)/((1 + (r)/(k))) * (- (r)/(k ^2)))/(- (1)/(k ^2))

underset(k -> oo)(l i m) (r)/(1 + (r)/(k))

Passo 6

Como fugimos da indeterminação, agora podemos substituir o limite:

underset(k -> oo)(l i m) (r)/(1 + (r)/(k)) = (r)/(1 + (r)/(oo)) = r

Pondo de volta na função original :

underset(k -> oo)(l i m) (1 + (r)/(k)) ^k = underset(k -> oo)(l i m) e ^(k l n (1 + (r)/(k))) = e ^(underset(k -> oo)(l i m) k l n (1 + (r)/(k))) = e ^r

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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