Enunciado

Use Lh’ospital o limite underset(x -> 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)

Passo 1

Sabemos que para usar Lh’oshpital, precisamos deixar nosso limite da forma (0)/(0) ou (oo)/(oo) . Vamos analisar qual a cara do limite que devemos calcular e se ele já está na forma que precisamos.

Usando as regras que conhecemos de limite,

underset(x -> 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x) = (t g 0)/(0 + s e n o 0) = (0)/(0)

Passo 2

Nesse caso, o resultado obtido já está forma que desejamos, então é só aplicar Lh’hospital. Ou seja, vamos derivar o numerador e, em seguida, derivar o denominador. Daí, nosso limite fica

underset(x -> 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x) = underset(x -> 0)(lim) (sec^2 x)/(1 + c o s x)

Passo 3

Fazendo a substituição do limite,

underset(x -> 0)(lim) (sec^2 x)/(1 + c o s x) = (1)/(1 + 1) = (1)/(2)

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x) = (1)/(2)

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