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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.4 - Ex. 81e

Suponha que f tenha uma derivada positiva para todos os valores de x e que f 1 = 0 . Qual das seguintes afirmações deve ser verdadeira sobre a função

g x = ∫ 0 x f t   d t

Justifique sua resposta.

  1. g é uma função derivável de x .
  2. g é uma função contínua de x .
  3. O gráfico de g tem uma tangente horizontal em x = 1 .
  4. g tem um máximo local em x = 1 .
  5. g tem um mínimo local em x = 1 .
  6. O gráfico de g tem um ponto de inflexão em x = 1 .
  7. O gráfico de d g / d x cruza o eixo x em x = 1 .

Passo 1

Esta é uma questão bastante completa. Diversos assuntos estudados são abordados agora. Temos conceitos de continuidade, diferenciabilidade, aplicações de derivadas e por fim, integrais através do teorema fundamental do cálculo (TFC) parte 1.

Como, de uma forma geral, todos os itens necessitam deste teorema, é importante revisarem o conceito dele para resolverem esta questão.

Passo 2

Vamos agora observar a nossa letra e

Queremos saber se g tem um mínimo local em x = 1 .

Para isso, precisamos fazer a derivada da função g

g ' x = d d x ∫ 0 x f t   d t

g ' x = f x ⋅ d d x ( x )

g ' x = f ( x )

Isso, com certeza significa que no que diz respeito a segunda derivada, teremos:

g ' ' x = f ' ( x )

Passo 3

Como a função g possui um ponto crítico em x = 1 , pois g ' 1 = 0 e g ' ' x = f ' x > 0 .

Pelo teste da segunda derivada, podemos dizer que essa função tem um ponto de mínimo local em x = 1 .

Ou seja, essa alternativa é verdadeira.

Resposta

Verdadeiro.

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