Use Lh’ospital o limite underset(theta -> 0)(lim) (3^(theta) - 1)/(theta)

Passo 1

Sabemos que para usar Lh’oshpital, precisamos deixar nosso limite da forma (0)/(0) ou (oo)/(oo) . Vamos analisar qual a cara do limite que devemos calcular e se ele já está na forma que precisamos.

Usando as regras que conhecemos de limite,

underset(theta -> 0)(lim) (3^(theta) - 1)/(theta) = (3^0 - 1)/(0) = (1 - 1)/(0) = (0)/(0)

Passo 2

Nesse caso, o resultado obtido já está forma que desejamos, então é só aplicar Lh’hospital. Ou seja, vamos derivar o numerador e, em seguida, derivar o denominador. Daí, nosso limite fica

underset(theta -> 0)(lim) (3^(theta) - 1)/(theta) = underset(theta -> 0)(l i m) (l n 3 * 3^(theta))/(1)

Passo 3

Fazendo a substituição do limite,

underset(theta -> 0)(l i m) (l n 3 * 3^(theta))/(1) = 3 * l n 3

Resposta

underset(theta -> 0)(lim) (3^(theta) - 1)/(theta) = 3 * l n 3

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