Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 24
Mostre que, se , em que só depende do produto ; então a equação diferencial
Tem um fator integrante da forma . Encontre um fórmula geral para esse fator integrante.
Passo 1
Primeira coisa que precisamos fazer é buscar uma forma de separar nossas variáveis. Basicamente chegamos em uma disciplina que requer que forcemos nosso lado matemático.
Suponha uma equação dada da seguinte forma
Dizemos que ela é exata, se e somente se
Além disso, dizemos que ela possuir uma função pontencial
Passo 2
Nosso problema começa assumindo que a função não é uma diferencial exata e que precisamos de um fator integrante para transformá-la em exata.
Assumindo que se
Então nosso fator integrante também é uma função só de . Assim fazendo
E sabendo que ela é uma diferencial exata agora, temos
Derivando, temos
Dividindo tudo por
Onde sabemos o que é
Assim temos
Integrando em temos
Que implica em
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)