Epidemias. A utilização de métodos matemáticos para estudar a disseminação de doenças contagiosas vem desde a década de 1760, pelo menos, quando Daniel Bernoulli fez um trabalho relativo á varíola. Em anos mais recentes, muitos modelos matemáticos foram propostos e estudados para diversas doenças diferentes. Os problemas de 22 a 24 tratam alguns dos modelos mais simples e as cpnclução que podem ser tirada deles. Modelos semelhantes também também têm sido usados para descrever a disseminação de boatos e de produtos de consumo.

22. Suponha que uma dada população pode ser dividida em duas partes: os que têm determinada doença e podem infectar outros, e os que não têm, mas são suscetíveis. Seja a proporção de indivíduos suscetíveis, e seja a proporção de indivíduos infectados; então . Suponha que a doença espalha-se através do contato entre os elementos doentes da população e os sãos, e que a taxa de disseminação é proporcional ao número de tais contatos. Além disso, suponha que os elementos de ambos os grupos movem-se livremente, de modo que o número de contatos é proporcional ao produto de e . Como , obtemos o problema de valor inicial

Em que é um fator de proporcionalidade positiva e é a proporção inicial de indivíduos infectados.

(a) Encontre os pontos de equilíbrio para a equação diferencial e determine se cada um deles é assintoticamente estável, semiestável ou instável.

(b) Resolva o problema de valor inicial e verifique se as conclusões a que você chegou no item (a) estão corretas. Mostre que quando , o que significa que, finalmente, a população inteira ficará doente.

(a) Os pontos de equilíbrio aparecem quando temos que a derivada da nossa função é nula, ou seja

Assim é fácil ver que, ou ou dois pontos de equilíbrio.

Para verificar a estabilidade deles, vamos calcular a derivada segunda e analisar como a função se comporta próximo ao nosso ponto.

Em , temos que a derivada segunda é uma constante positiva. Log otemos que em temos um ponto de estabilidade estável. Para temos que nossa derivada segunda é nula. Neste caso o que temos é um ponto semiestável.

(b) Agora o problema que que resolvemos nossa função a fim de achar uma solução.

Vamos usar a ideia de separação de variáveis e fazer

A equação da esquerda pode ser resolvida por frações parciais e teremos

Integrando ambos os lados

Que podemos escreve que

Pela penúltima equação tiramos o valor da constante pelo valor inicial, em

Ai ficamos com

Agora tome que, quando

Temos que

Implica

E assim temos que

Como é constante, temos que

se e somente se