Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 71
Mostre que a curva tem duas assíntotas oblíquas: e . Use esse fato para esboçar a curva.
Passo 1
Bom galera, nessa questão queremos mostrar que a função possui duas assíntotas oblíquas. Para isso, iremos utilizar o seguinte limite
Onde é a equação da assíntota oblíqua. Iremos utilizar os conceitos desse capítulo para tirar conclusões a respeito do gráfico de .
Passo 2
Derivando em relação a , temos
Como para todos os valores de , então nossa função está crescendo em todos os pontos.
Derivando em relação a , temos
Como para todos os valores de , então nossa função possui concavidade para baixo em e concavidade para cima em . A função não possui pontos críticos, portanto não possui valores de máximo e mínimo e é simétrica em relação à origem. O único ponto de inflexão está em .
Passo 3
Resolvendo o seguinte limite, temos
Dessa forma, é uma assíntota oblíqua a . Resolvendo o seguinte limite, temos
Dessa forma, é uma assíntota oblíqua a .