O gráfico de uma função f é mostrado. Verifique se f satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo 0,8 . Então, estime os valores de c que satisfazem a conclusão do Teorema nesse intervalo.

Passo 1

Fala aí! como vai?

Nesse problema foi dado o gráfico

E nosso objetivo é verificar se f satisfaz o Teorema de Rolle e se sim, estimar os valores de c .

Parece complicado?

O Teorema de Rolle é definido por

Vamos verificar esses três requisitos do teorema na função e estimar os valores de c ...

Veja só!

Passo 2

O quesito 1 do teorema diz que a função f deve ser continua em todo seu intervalo a , b .

Observando o gráfico vemos que não há nenhuma indeterminação ou assíntota, logo, f é sim continua em todo o seu intervalo.

O quesito 2 do teorema diz que f é derivável em todo o intervalo.

Podemos observar que f não possui nenhuma “quina” e como vimos anteriormente, é continua, logo, tambem é derivável em todo o intervalo.

E por último, o quesito 3 diz que f a = f b .

Ou seja, f começa e termina com a mesma imagem, que analisando o gráfico, vemos que f começa e termina em y = 1 , então esse quesito tambem está verificado!

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Pelo Teorema de Rolle, existe pelo menos um valor x = c dentro do intervalo a , b tal que f ' c = 0 .

Ou seja, no gráfico da nossa função, existe pelo menos um valor c dentro do intervalo 0,8 que possui uma inclinação nula na sua reta tangente, ou seja uma reta horizontal. E isso é o que acontece nos máximos e mínimos de uma função.

Observando o gráfico da função novamente, vemos que

Em x = 1 e em x = 5 , f ' = 0 , ou seja, a reta tangente possui inclinação 0 ...

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

c = 1 ,   c = 5

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