Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 74
Seja
Mostre que
Isso mostra que o gráfico de tende ao gráfico de , e dizemos que a curva é assintótica à parábola .
Use esse fato para ajudá-lo no esboço do gráfico de .
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, nessa questão queremos mostrar que a função
Quando possui:
Tem um gráfico que tende ao gráfico de , e dizemos que a curva é assintótica à parábola .
E devemos usar esse fato para traçar o esboço de seu gráfico.
Então é isso que faremos.
Vem que te mostro como!
Passo 2
Usando o limite dado no enunciado vemos que
Resolvendo o seguinte limite, temos
E substituindo a função, ficamos com:
E ajustando a função, ficamos com o limite de
Dessa forma, é uma assíntota oblíqua de .
Passo 3
Agora vamos encontrar mais algumas informações que nos ajude a traçar o gráfico dessa função.
Podemos analisa a derivada da função, para saber onde ela é crescente, onde é decrescente e se tem pontos de máximos e mínimos, já que:
Sendo:
Derivando em relação a , temos
Como
para
e
para
então nossa função está crescendo em e decrescendo em .
Também podemos estudar a segunda derivada para sabermos mais sobre sua concavidade e ponto de inflexão, já que:
Derivando em relação a , temos
Como para ou , então nossa função possui concavidade para cima em e em e concavidade para baixo em .
A função possui valores de mínimo local em e não possui valores de máximo local.
A função possui ponto de inflexão em .
Passo 4
E reunindo todas as informações que encontramos, teremos o seguinte gráfico:
Resposta
