Enunciado

Mostre que as curvas r = a sen ⁡ θ e r = a cos ⁡ θ se interceptam com ângulos retos.

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu as seguintes equações polares:

r = a sen ⁡ θ

r = a cos ⁡ θ

Onde a é uma constante.

Queremos provar que essas duas curvas se interceptam em ângulos retos.

Mas como podemos provar isso???

Bom... Para descobrirmos onde essas curvas se interceptam, precisamos achar um ponto onde em um mesmos ângulo as duas tenham o mesmo valor de r .

Para isso, basta igualar as equações e achar o θ correspondente.

Agora para descobrir o ângulo que elas se interceptam, usaremos as inclinações das tangentes no ponto de intersecção.

Para que sejam ângulos retos, uma inclinação tem que ter um valor m e a outra - 1 / m .

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Vamos igualar as equações para achar os pontos de intersecção:

a sen ⁡ θ = a cos ⁡ θ

Dividindo a equação por a

sen ⁡ θ = cos ⁡ θ

Qual o ângulo θ que tem seno e cosseno com o mesmo valor? Esses daqui:

θ = π 4

E

θ = 5 π 4

Outro ponto que elas vão se interceptar é na origem quando r = 0 . Apesar de não existir um ângulo onde sen ⁡ θ = cos ⁡ θ = 0 , a origem em si, o ponto, em coordenadas polares, é considerado um ponto de todas as angulações.

E como ele não tem distância, não faz diferença.

Então os pontos de intersecção dessa curva são r = 0 , θ = π 4 e θ = 5 π 4 .

Passo 3

Agora para saber o ângulo de intersecção vamos calcular a inclinação da tangente em cada ponto, para isso usaremos a fórmula

d y d x = d r d θ sen ⁡ θ + r cos ⁡ θ d r d θ cos ⁡ θ - r sen ⁡ θ

Para direrenciarmos as curvas vamos chamar de curva 1 :

r 1 = a sen ⁡ θ

E de curva 2 :

r 2 = a cos ⁡ θ

Chamaremos também a inclinação da curva 1 de m 1 e a inclinação da curva 2 de m 2 . Então

m 1 = d r 1 d θ sen ⁡ θ + r 1 cos ⁡ θ d r 1 d θ cos ⁡ θ - r 1 sen ⁡ θ

Calculando a inclinação para a primeira curva, primeiramente calculando d r 1 d θ

d r 1 d θ = a cos ⁡ θ

Substituindo agora na fórmula

m 1 = a cos ⁡ θ sen ⁡ θ + r 1 cos ⁡ θ a cos ⁡ θ cos ⁡ θ - r 1 sen ⁡ θ

Substituindo também o r 1

m 1 = a cos ⁡ θ sen ⁡ θ + a sen ⁡ θ cos ⁡ θ a cos ⁡ θ cos ⁡ θ - a sen ⁡ θ sen ⁡ θ

m 1 = 2 a sen ⁡ θ cos ⁡ θ a cos 2 ⁡ θ - a sen 2 ⁡ θ

Simplificando usando as relações sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ e cos ⁡ 2 θ = cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ

m 1 = a sen ⁡ 2 θ a cos ⁡ 2 θ = tg ⁡ 2 θ

Passo 4

Calculando agora a inclinação para a curva 2 :

m 2 = d r 2 d θ sen ⁡ θ + r 2 cos ⁡ θ d r 2 d θ cos ⁡ θ - r 2 sen ⁡ θ

Primeiro calculando o d r 2 d θ :

d r 2 d θ = - a sen ⁡ θ

Substiruindo d r 2 d θ e r 2 na fórmula:

m 2 = - a sen ⁡ θ sen ⁡ θ + a cos ⁡ θ cos ⁡ θ - a sen ⁡ θ cos ⁡ θ - a cos ⁡ θ sen ⁡ θ

m 2 = - a sen 2 ⁡ θ + a cos 2 ⁡ θ - 2 a sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Simplificando usando as mesmas relações para a primeira curva:

m 2 = a cos ⁡ 2 θ - a sen ⁡ 2 θ

m 2 = - cotg ⁡ 2 θ

Passo 5

Como vamos analizar também os pontos quando r = 0 , precisamos encontrar para quais ângulos isso ocorre na curva 1 e 2 .

Para a curva 1 :

r 1 = a sen ⁡ θ = 0

sen ⁡ θ = 0

Isso ocorre para θ = 0 e θ = π .

Para a curva 2 :

r 2 = a cos ⁡ θ = 0

cos ⁡ θ = 0

Isso ocorre em θ = π 2 e θ = 3 π 2 .

Passo 6

Por fim vamos analisar as inclinações, para isso precisamos analisar pontos onde as curvas 1 e 2 tem ângulos θ = π 4 e θ = 5 π 4 , além disso pontos onde as curvas tem r = 0 .

Para θ = π 4 :

m 1 π 4 = tg ⁡ 2 π 4

m 1 π 4 = tg ⁡ π 2

m 1 π 4 = ∄

Mas calculando os limites laterias

lim θ → π 4 - ⁡ m 1 = lim θ → π 4 -   ⁡ tg ⁡ 2 θ = + ∞

lim θ → π 4 + ⁡ m 1 = lim θ → π 4 +   ⁡ tg ⁡ 2 θ = - ∞

Esses valores do limite indicam uma inclinação vertical.

Agora m 2 :

m 2 π 4 = - cotg ⁡ 2 π 4

m 2 π 4 = - cotg ⁡ π 2

m 2 π 4 = 0  

Que é uma inclinação horizontal, se temos em uma curva uma inclinação horizontal e na outra uma vertical, as duas se interceptam neste ponto com um ângulo reto.

Passo 7

Para θ = 5 π 4 :

m 1 5 π 4 = tg ⁡ 10 π 4

m 1 5 π 4 = tg ⁡ 5 π 2

m 1 5 π 4 = tg ⁡ π 2

m 1 5 π 4 = ∄

E como calculamos o limite em cima, sabemos que se trata de uma inclinação vertical.

m 2 5 π 4 = - cotg ⁡ 10 π 4

m 2 5 π 4 = - cotg ⁡ 5 π 2

m 2 5 π 4 = - cotg ⁡ π 2

m 2 5 π 4 = 0  

Assim como para π 4 , temos uma inclinação vertical e outra horizontal, portanto se interceptam com ângulo reto.

Passo 8

Para r = 0 .

Na curva 1 com ângulos θ = 0 e θ = π temos uma inclinação

m 1 0 = tg ⁡ 0 = 0

m 1 π = tg ⁡ 2 π = 0

Então sempre que a curva 1 está na origem, sua inclinação é horizontal.

Na curva 2 com ângulos θ = π 2 e θ = 3 π 2

m 2 π 2 = - cotg ⁡ 2 π 2

m 2 π 2 = - cotg ⁡ π

m 2 π 2 = ∄

Analisando no limite

lim θ → π 2 - ⁡ m 2 = lim θ → π 2 - ⁡ ( - cotg ⁡ 2 θ ) = + ∞

lim θ → π 2 + ⁡ m 2 = lim θ → π 2 + ⁡ ( - cotg ⁡ 2 θ ) = - ∞

Temos para π 2 na curva 2 uma inclinação vertical.

m 2 3 π 2 = - cotg ⁡ 6 π 2

m 2 3 π 2 = - cotg ⁡ 3 π

m 2 3 π 2 = - cotg ⁡ π

m 2 3 π 2 = ∄

Para 3 π 2   também temos uma inclinação vertical.

Sempre que a curva 2 está na origem, sua inclinação é vertical.

Se para r = 0 a curva 1 tem inclinação horizontal e a curva 2 vertical, elas se interceptam por ângulos retos.

Resposta

Demonstração

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercicios de 1 a 36, faça um esboço do gráfico da equação dada 9. r = 4 - 4 c o s θ
Nos Exercicios de 1 a 36, faça um esboço do gráfico da equação dada 10 . r =3 - 3 s e n θ
Nos Exercicios de 1 a 36, faça um esboço do gráfico da equação dada 7. (a) r s e n θ = - 4 ; br = - 4 s e n θ
Nos Exercicios de 1 a 36, faça um esboço do gráfico da equação dada 2. (a) θ = 3 4 π ; br = 3 4 π
Nos Exercíccios de 1 a 36, faça um esboço do gráfico da equação dada. 4. (a) θ =- 3 ; b r = - 3