Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.10 - Ex. 71
Mostre que se é um polinômio de -ésimo grau, então:
Passo 1
E aí futuro cientista, preparado para usar todo seu talento em cálculo nessa questão de matemática? Vamos arrebentar!
Para solucionar essa questão, vamos demonstrar que, se é um polinômio de grau, então a expansão de pode ser representada pela série de Taylor de em torno do ponto , onde .
Vamos começar observando que se é um polinômio de grau, então todas as suas derivadas de ordem superior a serão iguais a zero. Isso ocorre porque, para um polinômio de grau , a derivada será uma constante multiplicada pelo termo de maior grau, e todas as derivadas subsequentes serão zero.
Portanto, podemos escrever a série de Taylor para em torno de um ponto como:
Agora, se fizermos , obtemos . Substituindo isso na fórmula da série de Taylor, temos:
Passo 2
Essa última equação vale para qualquer valor de . Portanto, podemos substituir por , o que nos dá:
Essa expressão mostra que a expansão de pode ser representada pela série de Taylor de .
Resposta
Essa expressão mostra que a expansão de pode ser representada pela série de Taylor de .