Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.3 - Ex. 45

Esboce uma curva com a equação polar dada primeiro esboçando o gráfico de como função de em coordenadas cartesianas.

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte equação polar:

Queremos esboçar a sua curva polar.

Mas antes temos que esboçar a curva em coordenadas cartesianas.

Assim, para montar essa primeira curva, podemos comparar a função que nos foi dada com uma função parecida que já sabemos como se plota.

Em seguida, vamos analisar como o valor de varia a cada (em cada quadrante) para podermos plotar a curva polar.

É sempre bom relembrar que nas equações polares o representa a distância do ponto até a origem e o o ângulo do ponto em relação ao eixo horizontal positivo.

Passo 2

Vamos analisar a nossa função:

A gente pode partir da curva , né? Essa a gente sabe que é dada da seguinte forma:

Comparando as expressões, vemos na equação do enunciado:

Temos a soma : isso significa que nosso gráfico “sobe” em uma unidade;
Temos o argumento : isso significa que nossa curva é “comprimida” em uma proporção de duas vezes;
Temos um multiplicando o cosseno: isso significa que a amplitude do nosso gráfico dobra.

Assim, com essas informações, temos a curva em vermelho:

Passo 3

Para plotarmos na forma polar, primeiramente vamos calcular valores de para alguns valores de (você pode conferir com os valores do gráfico do passo anterior também 😉).

Vamos calcular para e (ou seja, uma volta completa).