4. Mostre como encontrar a solução u(x, y) da equação de Laplace no retângulo 0 < x < a , 0 < y < b que satisfaz as condições de contorno

u(0, y) = k(y), u(a, y) = f(y), 0 < y < b

u(x, 0) = h(x), u(x, b) = g(x), 0 ≤ x ≤ a.

Sugestão: Veja o problema 3.

Passo 1

Ora, como vimos na questão 3, a solução de u   vai ser a soma de 4 outros problemas:

u x ,   y = w x ,   y + v x ,   y + p x ,   y + q x ,   y

Onde todos eles satisfazem a EDO de Laplace, ou seja:

w x x + w y y = 0

v x x + v y y = 0

p x x + p y y = 0

q x x + q y y = 0

A diferença de cada um é que eles terão apenas uma condição de contorno não nula de forma que cada um contemple uma condição. Por exemplo, as condições de w podem ser:

w 0 ,   y = k y ,         w a ,   y = 0 ,             0 < y < b ,

w x , 0 = 0 ,         u x ,   b = 0 ,             0 ≤ x ≤ a .

Já as condições de v ...

v 0 ,   y = 0 ,         v a ,   y = f y ,             0 < y < b ,

v x , 0 = 0 ,         v x ,   b = 0 ,             0 ≤ x ≤ a .

Para as condições de p e q do mesmo jeito:

Condições de p :

  p 0 ,   y = 0 ,         p a ,   y = 0 ,             0 < y < b ,

p x , 0 = h x ,         p x ,   b = 0 ,             0 ≤ x ≤ a .

Condições de q :

q 0 ,   y = 0 ,         q a ,   y = 0 ,             0 < y < b ,

q x , 0 = 0 ,         q x ,   b = g x ,             0 ≤ x ≤ a .

Dessa forma de fato a solução de u será a soma, saca?

u x ,   y = w x ,   y + v x ,   y + p x ,   y + q x ,   y

Resposta

Basta somar quatro problemas mais simples onde uma condição é não nula e as outras são.

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