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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.7 - Ex. 65

Calcule os valores de p para os quais as integrais convergem:

  1. ∫ 1 2 d x x ( ln ⁡ x ) p

  2. ∫ 2 ∞ d x x ( ln ⁡ x ) p

Passo 1

  1. Vamos fazer uma mudança de variáveis para ficar mais fácil...

    2. Façamos t = ln ⁡ x daí, d t = 1 x e os limites de integração passam a ser: t = ln ⁡ 1 = 0 e   t = ln ⁡ 2 .

    Bora reescrever a integral então:

    ∫ 0 ln ⁡ 2 d t t p

    A gente vai analisar a congruência dessa integral agora.

    Passo 2

    Integrando ∫ 0 ln ⁡ 2 d t t p a gente fica com:

    ∫ 0 ln ⁡ 2 d t t p = ∫ 0 ln ⁡ 2 t - p   d t =   t 1 - p 1 - p ] l n 2 0

    Vamos jogar no limite:

    lim b → 0 + ⁡ t 1 - p 1 - p ] l n 2 b =   lim b → 0 + ⁡ ( ln ⁡ 2   ) 1 - p 1 - p - b 1 - p 1 - p    

    Então, para o limite dar um número finito, precisamos que 1 - p > 0 . Veja que se o expoente 1 - p for negativo, o limite vai dar infinito.

    1 - p > 0 → - p > - 1 → p < 1

    Então, a integral converge para p < 1 e diverge para p ≥ 1 .

    Passo 3

  2. Procedendo da mesma forma do item anterior, temos que a integral pode ser escrita como:

∫ ln ⁡ 2 ∞ d t t p

Podemos fazer a mesma coisa do item anterior, mas a gente tem o seguinte resultado pra facilitar as coisas: sempre que temos uma integral do tipo ∫ a ∞ 1 x p   d x se p > 1 a integral converge, e se     p ≤ 1 , a integral diverge.

Então   ∫ ln ⁡ 2 ∞ d t t p converge para p > 1 e diverge para p ≤ 1 .

Resposta

a) A integral converge para p < 1 e diverge para p ≥ 1 .

b)A integral converge para p > 1 e diverge para p ≤ 1 .

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