Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.4 - Ex. 25
Mostre que para a equação geral do segundo grau em duas variáveis, o discriminante é invariante sob uma rotação de eixos.
Passo 1
Da seção 10.4 do Leithold, nós temos que se o sistema sofrer uma rotação de ângulo , então, para obter a equação geral de uma cônica em relação ao sistema , fazemos a seguinte substituição:
Sendo assim, da equação geral que é da forma , teremos:
No qual os valores de , e são:
Que são os valores que temos que saber para provar que o discriminante é invariante sob uma rotação.
Passo 2
Então galera, uma equação do segundo grau em duas variáveis é dada no seguinte formato:
Se fizermos as substituições de e conforme as expressões escritas no passo 1, teremos o seguinte, pessoal:
Dos valores de , e , temos:
Aqui vale ressaltar que para determinarmos os valores de , e só utilizamos um pouco de trigonometria e matemática básica para simplificações e evidências, tudo bem?
Passo 3
Por fim, o que precisamos fazer agora é tentar mostrar que o discriminante é invariante sob uma rotação. Depois da rotação, nosso discriminante vira , certo? Sendo assim, substituindo os valores que encontramos no passo anterior, teremos:
Simplificando, teremos:
C.Q.D.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)