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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.4 - Ex. 25

Mostre que para a equação geral do segundo grau em duas variáveis, o discriminante B 2 - 4 A C é invariante sob uma rotação de eixos.

Passo 1

Da seção 10.4 do Leithold, nós temos que se o sistema x y sofrer uma rotação de ângulo α , então, para obter a equação geral de uma cônica em relação ao sistema x - y - , fazemos a seguinte substituição:

x = x - . cos ⁡ α - y - . s e n   α   e   y = x - . s e n   α + y - . cos ⁡ α

Sendo assim, da equação geral que é da forma A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 , teremos:

A - x - 2 + B - x - y - + C - y - 2 + D - x - + E - y - + F - = 0

No qual os valores de A - , B - e C - são:

A - = A . c o s 2 α + B . s e n   α . cos ⁡ α + C . s e n 2 α

B - = - 2 A . s e n   α . cos ⁡ α + B . c o s 2 α - s e n 2 α + 2 C . s e n   α . cos ⁡ α

C - = A . s e n 2 α - B . s e n   α . cos ⁡ α + C . c o s 2 α

Que são os valores que temos que saber para provar que o discriminante é invariante sob uma rotação.

Passo 2

Então galera, uma equação do segundo grau em duas variáveis é dada no seguinte formato:

A x 2 + B x y + C y ²

Se fizermos as substituições de x e y conforme as expressões escritas no passo 1, teremos o seguinte, pessoal:

A . x - . cos ⁡ α - y - . s e n   α 2 + B . x - . cos ⁡ α - y - . s e n   α   . x - . s e n   α + y - . cos ⁡ α

+ C . x - . s e n   α + y - . cos ⁡ α 2

Dos valores de A - , B - e C - , temos:

A - = A . c o s 2 α + B . s e n   α . cos ⁡ α + C . s e n 2 α

A - = A + C . c o s 2 α + s e n 2 α - C . c o s 2 α - A . s e n 2 α + B . s e n   α . cos ⁡ α

A - = A + C - C . c o s 2 α - A . ( 1 - s e n 2 α ) + B . s e n   α . cos ⁡ α

2 A - = A + C + A - C . cos ⁡ 2 α + B . s e n   2 α

  B - = - 2 A . s e n   α . cos ⁡ α + B . c o s 2 α - s e n 2 α + 2 C . s e n   α . cos ⁡ α

B - = B . cos ⁡ 2 α - A - C . s e n   2 α

C - = A . s e n 2 α - B . s e n   α . cos ⁡ α + C . c o s 2 α

C - = A + C . c o s 2 α + s e n 2 α - A . c o s 2 α - C . s e n 2 α - B . s e n   α . cos ⁡ α

C - = A + C - A . c o s 2 α - C . 1 - c o s 2 α - B . s e n   α . cos ⁡ α

2 C - = A + C - A - C . cos ⁡ 2 α - B . s e n   2 α

Aqui vale ressaltar que para determinarmos os valores de A - , B - e C - só utilizamos um pouco de trigonometria e matemática básica para simplificações e evidências, tudo bem?

Passo 3

Por fim, o que precisamos fazer agora é tentar mostrar que o discriminante B 2 - 4 A C é invariante sob uma rotação. Depois da rotação, nosso discriminante vira   B - 2 - 4 . A - . C - , certo? Sendo assim, substituindo os valores que encontramos no passo anterior, teremos:

  B - 2 - 4 . A - . C - = B . cos ⁡ 2 α - A - C . s e n   2 α 2 - A + C + A - C . cos ⁡ 2 α + B . s e n   2 α . ( A

+ C - A - C . cos ⁡ 2 α - B . s e n   2 α )  

B - 2 - 4 . A - . C - = B 2 . c o s 2 2 α - 2 B . cos ⁡ 2 α . A - C . s e n   2 α + A - C 2 . s e n 2 2 α ) - [ A + C 2

- A - C 2 . c o s 2 2 α - 2 B . A - C . s e n   2 α . cos ⁡ 2 α - B 2 . s e n 2 2 ]

Simplificando, teremos:

B - 2 - 4 . A - . C - = B 2 + A - C 2 . s e n 2 2 α + c o s 2 2 α - ( A + C ) ²

B - 2 - 4 . A - . C - = B 2 + A 2 - 2 A C + C 2 - ( A 2 + 2 A C + C 2 )

∴ B - 2 - 4 . A - . C - = B 2 - 4 . A . C

C.Q.D.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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