25. Mostre que a fórmula (1 + x)^(-1/2) ≈ 1 - 1/2 * x é precisa até a segunda casa decimal se -0,1 ≤ x ≤ 0 .

Passo 1

Para mostrar primeiro que a fórmula é valida devemos encontrar qual é o polinômio de Maclaurin que representa a expressão dada e então encontrar seu resto de lagrange é afirmar que o erro encontrado é menor que intervalo de x e ela pode ser aproximada dessa forma.

Passo 2

O polinômio de Maclaruin para função dada é representando por:

P 1 x = f 0 + f ´ 0 x = 1 + 1 2 x

Passo 3

O resto de lagrange para forma aproximada em questão é dado por:

R n x = f n + 1 ε n + 1 ! . x - a n + 1   o n d e   ε   e s t á   e n t r e   a   e   x

R 1 x = f 2 ε 2 ! . x 2 = 3 x 2 8 1 + ε 5 2   o n d e   ε   e s t á   e n t r e   0   e   x

Como - 0 , 1 ≤ x ≤ 0 e x < ε < 0 então

R 1 x < 3 ( - 0,1 ) 2 8 0,9 1 2 = 0,00 48 < 0,005

Logo, a aproximação para o polinômio é valida se usarmos x dentro do intervalo dado.

Resposta

R 1 x < 0,005

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados