Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.5 - Ex. 25

25. Mostre que a fórmula 1 + x - 1 / 2 ≈ 1 - 1 2 x é precisa até a segunda casa decimal se - 0,1 ≤ x ≤ 0 .

Passo 1

Para mostrar primeiro que a fórmula é valida devemos encontrar qual é o polinômio de Maclaurin que representa a expressão dada e então encontrar seu resto de lagrange é afirmar que o erro encontrado é menor que intervalo de x e ela pode ser aproximada dessa forma.

Passo 2

O polinômio de Maclaruin para função dada é representando por:

P 1 x = f 0 + f ´ 0 x = 1 + 1 2 x

Passo 3

O resto de lagrange para forma aproximada em questão é dado por:

R n x = f n + 1 ε n + 1 ! . x - a n + 1   o n d e   ε   e s t á   e n t r e   a   e   x

R 1 x = f 2 ε 2 ! . x 2 = 3 x 2 8 1 + ε 5 2   o n d e   ε   e s t á   e n t r e   0   e   x

Como - 0 , 1 ≤ x ≤ 0 e x < ε < 0 então

R 1 x < 3 ( - 0,1 ) 2 8 0,9 1 2 = 0,00 48 < 0,005

Logo, a aproximação para o polinômio é valida se usarmos x dentro do intervalo dado.

Resposta

R 1 x < 0,005

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios de 1 a 14, ache o polinômio de Taylor do enésimo grau com resto de Lagrange no número a para a função definida pela equação dada.3 .f x = x 3 2 ; a = 4 ; n = 3 .
30. Prove o Teorema 11.5.2.
29. Aplique a fórmula de Taylor para expressar o polinômio P x = x 4 - x 3 + 2 x 2 - 3 x + 1 como um polinômio em potências de x - 1 .
Nos exercícios de 1 a 14, ache o polinômio de Taylor do enésimo grau com resto de Lagrange no número a para a função definida pela equação dada.1 1 .f x = l n ⁡ ( c o s x ) ; a = π 3 ; n = 3 .
Nos exercícios de 1 a 14, ache o polinômio de Taylor do enésimo grau com resto de Lagrange no número a para a função definida pela equação dada.1 2 .f x = e - x 2 ; a = 0 ; n = 3 .