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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.5 - Ex. 29

29. Aplique a fórmula de Taylor para expressar o polinômio P x = x 4 - x 3 + 2 x 2 - 3 x + 1 como um polinômio em potências de x - 1 .

Passo 1

Nesta questão o enunciado não nos fornece muitas informações, somente o que ele quer que encontramos mesmo. Para isso, basta aplicarmos a formula do polinômio de Taylor do enésimo grau apresentada ao longo da Seção. Devemos também utilizar a formula para o cálculo do resto de Lagrange.

O Polinômio de Taylor de enésimo grau da função f no número a é dado por:

P n x = f a + f ´ a 1 ! . x - a + f ´ ´ a 2 ! . x - a 2 + … + f n a n !   . x - a n

Passo 2

Sendo assim, para a função dessa questão o polinômio de Taylor ficaria da seguinte forma:

P 4 x = f 1 + f ´ 1 1 ! . x - 1 + f ´ ´ 1 2 ! . x - 1 2 + f 3 1 3 !   . x - 1 3 + f 4 1 4 !   . x - 1 4

Agora nos resta calcular a primeira, segunda , terceira e quarta derivada aplicada no número a = 1 .

Como f x = x 4 - x 3 + 2 x 2 - 3 x + 1 , temos que :

f 0 = 1 4 - 1 3 + 2 . 1 2 - 3 . 1 + 1 = 0

Passo 3

Calculando a primeira derivada e aplicando no número a   teremos:

f ´ x = 4 x 3 - 3 x 2 + 4 x - 3

f ´ 1 = 2

Passo 4

Calculando a segunda derivada e aplicando no número a   teremos:

f ´ ´ x = 12 x 2 - 6 x + 4

f ´ ´ 1 = 10

Passo 5

Calculando a terceira derivada e aplicando no número a   teremos:

f 3 x = 24 x - 6

f 3 1 = 18

Passo 6

Calculando a quarta derivada e aplicando no número a   teremos:

f 4 x = 24

f 4 1 = 24

Passo 7

Sendo assim, substituindo os valores encontrados na fórmula geral para o polinômio de Taylor desta questão , vem :

P 4 x = 0 + 2 1 ! . x - 1 + 10 2 ! . x - 1 2 + 18 3 !   . x - 1 3 + 24 4 !   . x - 1 4

P 4 x = 2 x - 1 + 5 x - 1 2 + 6 x - 1 3 + x - 1 4

Resposta

P 4 x = 2 x - 1 + 5 x - 1 2 + 6 x - 1 3 + x - 1 4

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