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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.5 - Ex. 11

Nos exercícios de 1 a 14, ache o polinômio de Taylor do enésimo grau com resto de Lagrange no número a para a função definida pela equação dada.

1 1 .   f x = l n ⁡ ( c o s x ) ; a = π 3 ; n = 3 .

Passo 1

Nesta questão o enunciado não nos fornece muitas informações, somente o que ele quer que encontramos mesmo. Para isso, basta aplicarmos a formula do polinômio de Taylor do enésimo grau apresentada ao longo da Seção. Devemos também utilizar a formula para o cálculo do resto de Lagrange.

O Polinômio de Taylor de enésimo grau da função f no número a é dado por:

P n x = f a + f ´ a 1 ! . x - a + f ´ ´ a 2 ! . x - a 2 + … + f n a n !   . x - a n

Já o resto de Lagrange é dado por :

R n x = f n + 1 ε n + 1 ! . x - a n + 1   o n d e   ε   e s t á   e n t r e   a   e   x  

Passo 2

Sendo assim, para a função dessa questão o polinômio de Taylor ficaria da seguinte forma:

P 3 x = f π 3 + f ´ π 3 1 ! . x - π 3 + f ´ ´ π 3 2 ! . x - π 3 2 + f 3 π 3 3 !   . x - π 3 3

Agora nos resta calcular a primeira, segunda e terceira derivada aplicada no número a = π 3 .

Como f x = l n ⁡ ( c o s x ) , temos que :

f π 3 = ln ⁡ cos ⁡ π 3 = - l n 2

Passo 3

Calculando a primeira derivada e aplicando no número a   teremos:

f ´ x = - t a n x

f ´ π 3 = - 3

Passo 4

Calculando a segunda derivada e aplicando no número a   teremos:

f ´ ´ x = - sec 2 ⁡ x

f ´ ´ π 3 = - 4

Passo 5

Calculando a terceira derivada e aplicando no número a   teremos:

f 3 x = - 2 sec 2 ⁡ x t a n x

f 3 π 3 = - 8 3

Passo 6

Sendo assim, substituindo os valores encontrados na fórmula geral para o polinômio de Taylor desta questão , vem :

P 3 x = - l n 2 + - 3 1 ! . x - π 3 + - 4 2 ! . x - π 3 2 + - 8 3 3 !   . x - π 3 3

P 3 x = - l n 2 - 3 x - π 3 - 2 x - π 3 2 - 4 3 3 x - π 3 3

Passo 7

Como para o cálculo do resto, necessitamos de f n + 1 ( ε ) , calculemos a quarta derivada da função dada:

f 4 x = - 4 sec 2 ⁡ x t a n 2 x - 2 sec 4 ⁡ x

f 4 ε = - 4 sec 2 ⁡ ε t a n 2 ε - 2 sec 4 ⁡ ε

Passo 8

Sendo assim, substituindo os valores encontrados na fórmula geral para resto de Lagrange desta questão , vem :

R 3 x = f 4 ε 4 ! . x - 1 4 = = - 4 sec 2 ⁡ ε t a n 2 ε - 2 sec 4 ⁡ ε 4 ! . x - π 3 4 ,   c o m   ε   e n t r e π 3   e   x

Resposta

P 3 x = - l n 2 - 3 x - π 3 - 2 x - π 3 2 - 4 3 3 x - π 3 3

R 3 x = - 4 sec 2 ⁡ ε t a n 2 ε - 2 sec 4 ⁡ ε 4 ! . x - π 3 4

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Seja f derivável até 2ª ordem no intervalo I e seja x 0 ∈ I . Mostre que existe uma função ϕ ( x ) definida em I tal que, para todo x em I f x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2 + ϕ x x
Mostre que para todo x , cos ⁡ x = lim n → ∞ ⁡ 1 - x 2 2 + x 4 4 ! - x 6 6 ! + . .. + - 1 n x 2 n 2 n ! Ou cos ⁡ x = 1 - x 2 2 + x 4 4 ! - x 6 6 ! + . ..
Mostre que, para todo x - 1 , ln ⁡ x + 1 = x - x 2 2 + x 3 3 - x 4 4 + … + - 1 nx n + 1 n + 1 + ∫ 0 x E t d t
∫ 0 1 e - x 2d x
Verifique que 1 - t + t 2 - t 3 + … + - 1 nt n é o polinômio de Taylor, de ordem n , de 1 1 + t em volta de 0 .