30. Prove o Teorema 11.5.2.

Passo 1

Nesse caso de provar um teorema não tem muito o que se retirar do enunciado, basta observar na seção do que o teorema se trata e utilizar a sugestão dada na questão.

Passo 2

Como é dito no teorema, podemos escrever f (x) como sendo:

f (x) = P_n (x) + R_n (x)

Onde P_n (x) = f (a) + (f ´ (a))/(1 !) . (x - a) + (f ´ ´ (a))/(2 !) . (x - a)^2 + ... + (f^((n)) (a))/(n !) . (x - a)^n

e R_n (x) = (1)/(n !) int_a^x (x - t)^n f^((n + 1)) (t) d t .

Então,

f (x) = f (a) + (f ´ (a))/(1 !) . (x - a) + (f ´ ´ (a))/(2 !) . (x - a)^2 + ... + (f^((n)) (a))/(n !) . (x - a)^n + (1)/(n !) int_a^x (x - t)^n f^((n + 1)) (t) d t

Passo 3

Sabemos que, p a r a n = 0 :

f (x) = f (a) + int_a^x f^((n + 1)) (t) d t

Passo 4

Supondo para um n = k qualquer, podemos escrever :

f (x) = f (a) + (f ´ (a))/(1 !) . (x - a) + (f ´ ´ (a))/(2 !) . (x - a)^2 + ... + (f^((k)) (a))/(k !) . (x - a)^k + (1)/(k !) int_a^x (x - t)^k f^((k + 1)) (t) d t

Note que para resolução da integral que aparece na expressão da função, utiliza-se da técnida de integração por partes. Sendo assim a integral tem como resultado:

(1)/(k !) int_a^x (x - t)^k f^((k + 1)) (t) d t = (f^((k + 1)) (a))/(( k + 1 ) !) (x - a)^(k + 1)

Logo, Ao substituir o valor encontrado acima da expressão de f (x) temos que é verdadeira a afirmação do teorema em questão.

Resposta

Demonstração.

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