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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 79

Mostre que os pontos de inflexão da curva y = x s e n x estão sobre a curva y 2 x 2 + 4 = 4 x 2 .

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado quer que mostremos que os pontos de inflexão da curva:

y = x sin ⁡ x

Estão sobre a curva:

y 2 x 2 + 4 = 4 x 2

Em outras palavras, nosso objetivo é mostrar que a segunda derivada igualada a zero nos fornece um ponto com a cara y 2 x 2 + 4 = 4 x 2 .

Então vamos ter calcular a segunda derivada e dá uma manipulada, beleza? Vamos lá!

Passo 2

Pela regra do produto, temos que:

y = x sin ⁡ x ' + x ' sin ⁡ x ∴

y ' = x cos ⁡ x + sin ⁡ x

Derivando de novo:

y ' ' = x ' cos ⁡ x + cos ⁡ x ' x + sin ⁡ x ' ∴

y ' ' = - x s e n   x   + 2   c o s x  

Como desejamos que seja um ponto de inflexão,

y ' ' = 0

Ou seja,

2 c o s x = x   s e n x  

Passo 3

Já fizemos a primeira etapa, beleza? Agra vamos dá uma manipulada para chegar onde queremos.

Elevando ao quadrado ambos os lados da última igualdade:

4 cos 2 ⁡ x = x 2   s i n 2 x  

Usando a identidade s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1 ⇒ s e n 2 x = 1 - cos 2 ⁡ x   . Daí,

4 cos 2 ⁡ x = x 2 1 - cos 2 ⁡ x

Colocando cos 2 ⁡ x   em evidência,

cos 2 ⁡ x   x 2 + 4 = x 2

Multiplicando a igualdade por 4 , temos que

4 cos 2 ⁡ x   x 2 + 4 = 4   x 2

Daí, Tchraaaaammmmmm.

y 2 x 2 + 4 = 4 x 2

Com y = 2   c o s x   .

Nosso ponto de inflexão está sob a curva.

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

Demonstração

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