Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.Exercícios Práticos - Ex. 110
Mostre que a reta normal, em qualquer ponto do círculo passa pela origem.
Passo 1
Para achar a reta normal, podemos pegar a reta tangente e usar que o produto do coeficiente angular das duas é igual a . Então vamos achar a equação da reta tangente através da derivada e em seguida vamos achar a equação da reta normal em um ponto qualquer do círculo e em seguida vamos verificar que a afirmação é verdadeira.
Passo 2
A função dada pelo sinal positivo nos dá a parte de cima do círculo e a com o sinal negativo nos dá a parte de baixo do círculo. Vamos pegar a função positiva (para a parte de baixa é só utilizar o pensamento análogo, com a função negativa):
Passo 3
Pegamos o ponto genérico e usamos que o produto dos coeficientes angulares de duas retas perpendiculares é igual a :
A equação da reta é:
Resposta
Para chegar a afirmação precisamos substituir o ponto na equação da reta e chegamos a conclusão de que , o que indica que a reta passa pela origem:
Como o ponto pertence ao círculo, deve obedecer à equação: