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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.Exercícios Práticos - Ex. 27

Determine o limite ou explique por que ele não existe.

lim θ → 0 + ⁡ θ   ∙   e c o s ( π θ )

Passo 1

Para calcular o limite, devemos notar que uma simples substituição de x por 0 resultará em uma indeterminação com 0 no denominador da fração. Por isso, devemos desenvolver a expressão.

Passo 2

Primeiro, devemos aplicar as propriedades do limite

lim θ → 0 + ⁡ θ   ∙     e c o s ( π θ )   =   lim θ → 0 + ⁡ θ   ∙   l i m θ → 0 +   e c o s ( π θ )

Passo 3

Note que lim θ → 0 + ⁡ θ   sempre é 0 e que - 1   ≤   c o s ( π θ )   ≤   1

Logo,

lim θ → 0 + ⁡ θ   ∙   e c o s ( π )   ≤   lim θ → 0 + ⁡ θ   ∙   e c o s ( π θ )     ≤   lim θ → 0 + ⁡ θ   ∙   e c o s ( 0 )    

0   ∙   ( - 1 )   ≤   lim θ → 0 + ⁡ θ   ∙   e c o s ( π θ )     ≤     0   ∙   1

0   ≤   lim θ → 0 + ⁡ θ   ∙   e c o s ( π θ )     ≤     0  

Passo 4

Sabendo que, pelo Teorema do Confronto, se

g ( x )     ≤     f ( x )     ≤     h ( x )

e

0   ≤     lim x → a ⁡ f ( x )     ≤     0

Podemos afirmar que

lim x → a ⁡ f ( x )     =     0

Portanto, como 0   ≤   lim θ → 0 + ⁡ θ   ∙   e c o s ( π θ )     ≤     0  

Concluímos que

lim θ → 0 + ⁡ θ   ∙   e c o s ( π θ )   =   0

Resposta

lim θ → 0 + ⁡ θ   ∙   e c o s ( π θ )   =   0

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