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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.2 - Ex. 23c

Nesse problema, esboçamos uma demonstração de que as autofunções do problema de Sturm-Liouville (1), (2) são reais..

Mostre que φ tem que ser real, a menos de uma constante multiplicativa que pode ser complexa.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para atribuirmos a definição do operador de Sturn-Liouville e testar a dependência linear de autofunções. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser lembrar a definição da teoria de Sturn-Liouville

L y ( x ) = λ r x y ( x )

Com isso, podemos assumir que:

ϕ , L ϕ x = L ϕ x ,   ϕ

L ϕ x = λ r x U x + i λ r x V x  

Usando a definição, chegamos na seguinte integral:

λ - λ - ∫ r x ϕ x ϕ ( x ) - d x = 0  

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

U x + i V x U x - i V x = 0

U x =   ± i V x

Resposta

U x =   ± i V x

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Suponha que todos os autovalores são reais.Estime λn para valores grandes de n.
Considere o problema de valores de contorno. Determine, pelo menos aproximadamente, os autovalores reais e as autofunções associadas, procedendo como no Problema 17(a, b).
Considere o problema em que α é uma constante dada. Mostre que λ = 0 é um autovalor, se e somente se α = 1.
Suponha que todos os autovalores são reais.Determine a forma das autofunções e a equação satisfeita pelos autovalores não nulos.
Suponha que todos os autovalores são reais.Encontre valores aproximados para λ1 e λ2, os dois autovalores não nulos de menor módulo.