1.

(a) Mostre que os autovalores do sistema linear (8), válidos perto da origem, são dados pela Eq. (10).

(b) Determine os autovetores associados.

(c) Determine os autovalores e autovetores do sistema (8) quando .

Pois bem, os autovalores associados podem ser calculados pela expressão algébrica:

Onde representam os nossos autovetores. Como queremos os encontrar, chamemos as suas coordenadas até então desconhecidas de , e :

Lembre-se de que é o mesmo que retirar da diagonal principal!

Sendo assim, para o ...

Multiplicando essas matrizes...

Das duas primeiras equações, como não pode ser ...

Como não encontramos nenhuma restrição sobre , é porque ele está livre podendo ser quem ele quiser (digamos ). Então, um autovetor associado é...

Vamos basicamente fazer a mesma coisa, mas agora para :

Poxa, é esse valor feio aqui:

Então vamos primeiro fazer o produto matricial e depois substituiremos. Resolvendo então o produto matricial...

Da última equação, tiramos que...

Das duas primeiras, no entanto, multiplicando a segunda por 10...

E somando com a primeira equação...

Podemos passar esse termo com para o outro lado...

E isola-lo em termos de :

Se escolhermos igual a , então...

E o nosso segundo autovetor será...

Ou seja, substituindo ...

Para o autovetor , teríamos basicamente o mesmo sistema de equações que o anterior, com diferença que no lugar de devemos ter :

Concluímos então que o autovetor será basicamente o mesmo:

Portanto, trocando o ....

Bem, aqui não tem mistérios nenhum, neh? Basta você pegar os nossos autovalores determinados:

E trocar o por :

Fazendo o mesmo com os nossos autovetores...