Enunciado

Suponha que todos os autovalores são reais.

Estime λn para valores grandes de n.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nessa questão, temos uma equação diferencial e precisamos aplicar os valores de contorno. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser determinar o formato da solução de função.

Para λ > 0

y = c 1 sin ⁡ λ x + c 2 cos ⁡ λ x

c 2 = c 1 λ

y = c 1 sin ⁡ λ x + c 1 λ   cos ⁡ λ x

c 1 sin ⁡ λ + c 1 λ   cos ⁡ λ + - c 1 λ sin ⁡ λ + c 1 λ   cos ⁡ λ = 0

λ n - 1 sin ⁡ λ n - 2 λ n cos ⁡ λ n = 0

ϕ n x = c 1 sin ⁡ λ n x + c 1 λ n   cos ⁡ λ n x  

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

y = cot ⁡ λ

λ = n - 1 π

λ = n - 1 2 π 2

λ n = n - 1 2 π ²  

Resposta

λ n = n - 1 2 π ²  

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