Considere o problema de Sturm-Liouville

em que p, q e r satisfazem as condições enunciadas no texto.

Mostre que, se q(x) ≥ 0 e, se β1/β2 e – α1/α2 não forem negativos, então o autovalor λ será maior do que zero ou igual a zero.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para atribuirmos a definição do operador de Sturn-Liouville e testar a continuidade e positividade. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser lembrar a definição da teoria de Sturn-Liouville

L ϕ = - p x ϕ ' x ' + q x ϕ x

Com isso, podemos aplicar a integral.

∫ L ϕ d ϕ =   ∫ - p x ϕ ' x ' ϕ d x + ∫ q x ϕ x   d x

Resolvendo essas primeira parcela da integral através do método da integração por partes, temos:

∫ - p x ϕ ' x ' ϕ d x = p 0 ϕ 0 ϕ ' 0 - p 1 ϕ 1 ϕ ' 1 + ∫ p ϕ ' 2 d x

Usando a condição de contorrno dada no enunciado, chegamos a

- p 0 ϕ 0 2 α 1 α 2 + p 1 ϕ 1 2 β 1 β 2 + ∫ p ϕ ' 2 + q ϕ 2 d x

λ ∫ r ϕ ² d x   =   p 1 ϕ 1 2 β 1 β 2 - p 0 ϕ 0 2 α 1 α 2 + ∫ p ϕ ' 2 + q ϕ 2 d x

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

Como as funções são positivas, o parâmetro λ satisfaz uma relação do tipo

λ I 1 = I 2 + I 3

Com os Is são todos positivos também, podemos concluir que

λ ≥ 0

Resposta

λ ≥ 0

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