Neste problema, vamos mostrar como pequenas mudanças nos coeficientes de um sistema de equações lineares podem afetar um ponto crítico que é um centro. Considere o sistema

x ' = 0 1 - 1 0 x

Mostre que os autovalores são ± i , de modo que (0, 0) é um centro. Considere agora o sistema

x ' = ϵ 1 - 1 ϵ x

em que | ∊ | é arbitrariamente pequeno. Mostre que os autovalores são ∊   ±   i . Assim, independente do quão pequeno for | ∊ |   ≠   0 , o centro torna-se um ponto espiral. Se ∊   <   0 , o ponto espiral será assintoticamente estável; se ∊ > 0, o ponto espiral será instável.

Passo 1

Encontrando então os autovalores da matriz de coeficientes...

A = 0 1 - 1 0     →

det ⁡ A - r I = 0     →

Onde r é justamente o autovalor. Então...

det ⁡ - r 1 - 1 - r = 0     →

r 2 + 1 = 0     →

Resolvendo em r

r = ± - 1

Como - 1 é i , a unidade imaginária, então...

r = ± i

Provando que de fato 0 ,   0 é um ponto crítico.

Passo 2

Repetindo então os cálculos, mas dessa vez considerando a matriz de coeficientes:

ϵ 1 - 1 ϵ

Então...

det ⁡ ϵ - r 1 - 1 ϵ - r = 0   →

ϵ - r 2 + 1 = 0     →

ϵ - r = ± i     →

r = ϵ ± i

Então de fato, não importando o valor de ϵ , o retrato de fase do problema muda de elipses concêntricas para espirrais. Convergente se ϵ for negativo e divergente (Instável) se ϵ for positivo!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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