Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.3 - Ex. 27
Neste problema, vamos mostrar como pequenas mudanças nos coeficientes de um sistema de equações lineares podem afetar um ponto crítico que é um centro. Considere o sistema
Mostre que os autovalores são , de modo que (0, 0) é um centro. Considere agora o sistema
em que é arbitrariamente pequeno. Mostre que os autovalores são . Assim, independente do quão pequeno for , o centro torna-se um ponto espiral. Se , o ponto espiral será assintoticamente estável; se ∊ > 0, o ponto espiral será instável.
Passo 1
Encontrando então os autovalores da matriz de coeficientes...
Onde é justamente o autovalor. Então...
Resolvendo em
Como é , a unidade imaginária, então...
Provando que de fato é um ponto crítico.
Passo 2
Repetindo então os cálculos, mas dessa vez considerando a matriz de coeficientes:
Então...
Então de fato, não importando o valor de , o retrato de fase do problema muda de elipses concêntricas para espirrais. Convergente se for negativo e divergente (Instável) se for positivo!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)