30. Uma generalização da equação do pêndulo amortecido discutida no texto, ou de um sistema mola-massa amortecido, é a equação de Liénard

Se for uma constante e , então essa equação terá a forma da equação linear do pêndulo [substitua por na Eq. (12) da Seção 9.2]; caso contrário, o amortecimento e a força restauradora serão não lineares. Suponha que é continuamente diferenciável, que é duas vezes continuamente diferenciável e que .

(a) Escreva a equação de Liénard como um sistema de duas equações de primeira ordem introduzindo a variável .

(b) Mostre que é um ponto crítico e que o sistema é localmente linear em uma vizinhança de

(c) Mostre que, se e , então o ponto crítico será assintoticamente estável, e, se ou se , então o ponto crítico será instável.

Sugestão: Use a série de Taylor para aproximar e em uma vizinhança de .

Um ponto será crítico se as derivadas nele forma nulas:

Em outras palavras...

Então de fato formam um ponto crítico da nossa EDO:

Para verificar a condição de que o sistema é localmente linear em , consideremos o sistema:

De acordo com a teoria, podemos calcular o limite para verificar se ele é ou não:

Onde é o módulo desse vetor, dado por Pitágoras das coordenadas, saca? (o mesmo sobre )...

Como , quando vai para a origem, então se pode afirmar que:

Então de fato é verdade que o sistema é localmente linear ao redor de .

Beleza! Então primeiro montemos o nosso sistema localmente linear removendo as informações de quem são e :

Agora encontremos a jacobiana disso:

Substituindo o ponto ...

Então o sistema localmente linear será...

Para provar essa questão estabilidade, vamos ter que buscar os autovalores da matriz:

Então...

Resolvendo essa equação do segundo grau...

VEJAMOS PRIMEIRO A CONDIÇÃO DE QUE E :

Se isso acontece, a primeira conclusão que podemos tirar é de que...

Além disso, para a estabilidade temos que avaliar a raiz também:

Se e então é verdade que essa raiz é menor que , e portanto somando ou subtraindo a vai gerar dois valores negativos para :

Isso na nossa tabelinha 9.3.1 significa que de fato teremos uma estabilidade assintótica!

AGORA VEJAMOS O OUTRO CASO, E :

Esse caso é parecido, afinal se , então será maior que . Agora vejamos a raiz:

Se tanto quando são negativos, podemos afirmar que o valor de dentro dessa raiz será positivo e maior que , ou seja, podemos garantir que:

Logo, como em envolve um :

Os resultados aqui só podem ser um positivo e outro negativo:

O que provoca instabilidade no sistema!