Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.3 - Ex. 30
30. Uma generalização da equação do pêndulo amortecido discutida no texto, ou de um sistema mola-massa amortecido, é a equação de Liénard
Se for uma constante e , então essa equação terá a forma da equação linear do pêndulo [substitua por na Eq. (12) da Seção 9.2]; caso contrário, o amortecimento e a força restauradora serão não lineares. Suponha que é continuamente diferenciável, que é duas vezes continuamente diferenciável e que .
(a) Escreva a equação de Liénard como um sistema de duas equações de primeira ordem introduzindo a variável .
(b) Mostre que é um ponto crítico e que o sistema é localmente linear em uma vizinhança de
(c) Mostre que, se e , então o ponto crítico será assintoticamente estável, e, se ou se , então o ponto crítico será instável.
Sugestão: Use a série de Taylor para aproximar e em uma vizinhança de .
Passo 1
Aqui não tem muitos mistérios, basta pegar a informação de substituição que ele nos deu...
E substituir na equação de segunda ordem:
Jogando tudo que envolve por um lado...
Prontinho! Temos o nosso sistema de EDO’s de primeira ordem:
Ou, em notação de matrizes...
Passo 2
Um ponto será crítico se as derivadas nele forma nulas:
Em outras palavras...
Então de fato formam um ponto crítico da nossa EDO:
Passo 3
Para verificar a condição de que o sistema é localmente linear em , consideremos o sistema:
De acordo com a teoria, podemos calcular o limite para verificar se ele é ou não:
Onde é o módulo desse vetor, dado por Pitágoras das coordenadas, saca? (o mesmo sobre )...
Como , quando vai para a origem, então se pode afirmar que:
Então de fato é verdade que o sistema é localmente linear ao redor de .
Passo 4
Beleza! Então primeiro montemos o nosso sistema localmente linear removendo as informações de quem são e :
Agora encontremos a jacobiana disso:
Substituindo o ponto ...
Então o sistema localmente linear será...
Passo 5
Para provar essa questão estabilidade, vamos ter que buscar os autovalores da matriz:
Então...
Resolvendo essa equação do segundo grau...
VEJAMOS PRIMEIRO A CONDIÇÃO DE QUE E :
Se isso acontece, a primeira conclusão que podemos tirar é de que...
Além disso, para a estabilidade temos que avaliar a raiz também:
Se e então é verdade que essa raiz é menor que , e portanto somando ou subtraindo a vai gerar dois valores negativos para :
Isso na nossa tabelinha 9.3.1 significa que de fato teremos uma estabilidade assintótica!
AGORA VEJAMOS O OUTRO CASO, E :
Esse caso é parecido, afinal se , então será maior que . Agora vejamos a raiz:
Se tanto quando são negativos, podemos afirmar que o valor de dentro dessa raiz será positivo e maior que , ou seja, podemos garantir que:
Logo, como em envolve um :
Os resultados aqui só podem ser um positivo e outro negativo:
O que provoca instabilidade no sistema!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)