30. Uma generalização da equação do pêndulo amortecido discutida no texto, ou de um sistema mola-massa amortecido, é a equação de Liénard

(d²x)/(dt²) + c(x) * (dx)/(dt) + g(x) = 0

Se c(x) for uma constante e g(x) = kx , então essa equação terá a forma da equação linear do pêndulo [substitua sen(θ) por theta na Eq. (12) da Seção 9.2]; caso contrário, o amortecimento c(x) * dx / dt e a força restauradora g(x) serão não lineares. Suponha que c é continuamente diferenciável, que g é duas vezes continuamente diferenciável e que g(0) = 0 .

(a) Escreva a equação de Liénard como um sistema de duas equações de primeira ordem introduzindo a variável y = dx/dt .

(b) Mostre que (0, 0) é um ponto crítico e que o sistema é localmente linear em uma vizinhança de (0, 0)

(c) Mostre que, se c(0) > 0 e g'(0) > 0 , então o ponto crítico será assintoticamente estável, e, se c(0) < 0 ou se g'(0) < 0 , então o ponto crítico será instável.

Sugestão: Use a série de Taylor para aproximar c e g em uma vizinhança de x = 0 .

Passo 1

L e t r a   A :

Aqui não tem muitos mistérios, basta pegar a informação de substituição que ele nos deu...

y   = d x d t

E substituir na equação de segunda ordem:

d 2 x d t 2 + c x d x d t + g x = 0   →

y ' + c x y + g x = 0       →

Jogando tudo que envolve x por um lado...

y ' = - c x y - g x

Prontinho! Temos o nosso sistema de EDO’s de primeira ordem:

x ' = y

y ' = - c x y - g x

Ou, em notação de matrizes...

x ' y ' = 0 1 0 - c x 0 y + 0 g x

Passo 2

L e t r a   B :

Um ponto 0 ,   0 será crítico se as derivadas nele forma nulas:

0 = y

0 = - c x y - g x

Em outras palavras...

y = 0  

- c 0 y + g 0 = 0   →

g 0 = 0

Então de fato x = 0     e       y = 0 formam um ponto crítico da nossa EDO:

0 ,   0     →         P o n t o   c r í t i c o

Passo 3

Para verificar a condição de que o sistema é localmente linear em 0 ,   0 , consideremos o sistema:

x ' y ' = 0 1 0 - c x 0 y + 0 g x

De acordo com a teoria, podemos calcular o limite para verificar se ele é ou não:

lim x ,  y → ( 0 ,   0 ) ⁡ 0 g x / x ,   y

Onde 0 g x é o módulo desse vetor, dado por Pitágoras das coordenadas, saca? (o mesmo sobre x ,   y )...

lim x ,  y → ( 0 ,   0 ) ⁡ 0 2 + g 2 x x 2 + y 2     →

lim x ,  y → ( 0 ,   0 ) ⁡ g x x 2 + y 2     →

Como g 0 = 0 , quando x ,   y vai para a origem, então se pode afirmar que:

lim x ,  y → ( 0 ,   0 ) ⁡ g x x 2 + y 2 = 0

Então de fato é verdade que o sistema é localmente linear ao redor de 0 ,   0 .

Passo 4

L e t r a   C :

Beleza! Então primeiro montemos o nosso sistema localmente linear removendo as informações de quem são F e G :

x ' = y             →         F x ,   y = y

y ' = - c x y - g x                 →         G x ,   y = - c x y - g x

Agora encontremos a jacobiana disso:

J x ,   y = F x F y G x G y     →

J x ,   y = 0 1 - c ' x y - g ' x - c x       →

Substituindo o ponto 0 ,   0 ...

J 0 ,   0 = 0 1 - g ' 0 - c 0

Então o sistema localmente linear será...

x ' y ' = 0 1 - g ' 0 - c 0 x y

Passo 5

Para provar essa questão estabilidade, vamos ter que buscar os autovalores da matriz:

A = 0 1 - g ' 0 - c 0     →

Então...

det ⁡ A - λ I = 0     →

det ⁡ - λ 1 - g ' 0 - c 0 - λ = 0   →

- λ - c 0 - λ + g ' 0 = 0   →

λ 2 + λ c 0 + g ' 0 = 0   →

Resolvendo essa equação do segundo grau...

λ = - c 0 2 ± c 0 2 - 4 g ' 0 2

VEJAMOS PRIMEIRO A CONDIÇÃO DE QUE c 0 > 0 E g ' 0 > 0 :

Se isso acontece, a primeira conclusão que podemos tirar é de que...

c 0 > 0           →         - c 0 2 < 0

Além disso, para a estabilidade temos que avaliar a raiz também:

c 0 2 - 4 g ' 0  

Se c 0 > 0 e g ' 0 > 0 então é verdade que essa raiz é menor que c 0 , e portanto somando ou subtraindo a - c 0 2 vai gerar dois valores negativos para λ :

λ 1 < λ 2 < 0

Isso na nossa tabelinha 9.3.1 significa que de fato teremos uma estabilidade assintótica!

AGORA VEJAMOS O OUTRO CASO, c 0 < 0 E g ' 0 < 0 :

Esse caso é parecido, afinal se c 0 < 0 , então - c 0 2 será maior que 0 . Agora vejamos a raiz:

c 0 2 - 4 g ' 0 2

Se tanto c 0 quando g ' 0 são negativos, podemos afirmar que o valor de dentro dessa raiz será positivo e maior que c 0 2 , ou seja, podemos garantir que:

c 0 2 - 4 g ' 0 2 > - c 0 2

Logo, como em λ envolve um ± :

λ = - c 0 2 ± c 0 2 - 4 g ' 0 2

Os resultados aqui só podem ser um positivo e outro negativo:

λ 1 < 0 < λ 2

O que provoca instabilidade no sistema!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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