Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.3 - Ex. 26
Neste problema, vamos mostrar como pequenas mudanças nos coeficientes de um sistema de equações lineares podem afetar um ponto crítico quando os autovalores são iguais. Considere a sistema
Mostre que os autovalores são de modo que o ponto crítico é um nó assintoticamente estável. Considere, agora o sistema
onde arbitrariamente pequeno. Mostre que os autovalores se então os autovalores são , de modo que o nó assintoticamente estável se transformou em um ponto espiral assistoticamente estável. Se , então as raízes são e o ponto crrítico permanete sendo um nó assintoticamente estável.
Passo 1
A equação característica do coeficiente matricial é com raízes
Logo, o ponto crítico é um ponto assintoticamente estável. Por outro lado, a equação aracterística do sistema perturbado é com raízes
Passo 2
Se então são raízes complexas. O ponto crítico é um espiral estável.
Se então são reais e ambos negativos (). O ponto crítico se mantém estável.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)