Neste problema, vamos mostrar como pequenas mudanças nos coeficientes de um sistema de equações lineares podem afetar um ponto crítico quando os autovalores são iguais. Considere a sistema x ' = - 1 1 0 - 1 x Mostre que os autovalores são r 1 = - 1 ,r 2 = - 1 de modo que o ponto crítico 0,0 é um nó assintoticamente estável. Considere, agora o sistema x ' = - 1 1 - ϵ - 1 x onde ϵé éarbitrariamente pequeno. Mostre que os autovalores se ϵ0 , então os autovalores são - 1 ± ϵ , de modo que o nó assintoticamente estável se transformou em um ponto espiral assistoticamente estável. Se ϵ0 , então as raízes são - 1 ± ϵ e o ponto crrítico permanete sendo um nó assintoticamente estável.

Enunciado

A equação característica do coeficiente matricial é com raízes

Logo, o ponto crítico é um ponto assintoticamente estável. Por outro lado, a equação aracterística do sistema perturbado é com raízes

Se então são raízes complexas. O ponto crítico é um espiral estável.

Se então são reais e ambos negativos (). O ponto crítico se mantém estável.

Ei, a resposta está no passo a passo :)