Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 2

Determine se cada uma das equações nos problemas de 1 a 12 é exata. Se for, encontre a solução.

Passo 1

Primeira coisa que precisamos fazer é buscar uma forma de separar nossas variáveis. Basicamente chegamos em uma disciplina que requer que forcemos nosso lado matemático.

Suponha uma equação dada da seguinte forma

Dizemos que ela é exata, se e somente se

Além disso, dizemos que ela possuir uma função pontencial

Caso nossa equação seja exata, então vamos adotar uma estratégia definida no decorrer de nosso exercício e bem explicada...

Passo 2

Por sorte temos um problema fácil de resolver...”fácil”.

Vamos reescrever nosso problema como

Assim usando a ideia de variáveis separáveis

Assim temos que

Logo nossa solução não é exata e então não possui função potencial

Resposta

Não é exata

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Nos problemas 31-34, encontre o valor de k para que a equação diferencial dada seja exata. 2 x - y . s e n x y + k . y 4 d x - 20 x y 3 + x . s e n ( x y ) d y = 0

Nos problemas 31-34, encontre o valor de k para que a equação diferencial dada seja exata. y 3 + k x y 4 - 2 x d x + 3 x y 2 + 20 x 2 y 3 d y = 0

Nos problemas 31-34, encontre o valor de k para que a equação diferencial dada seja exata. 2 x y 2 + y . e x d x + 2 x 2 y + k . e x - 1 d y = 0

Nos problemas 25-30, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada. y 2 . cos ⁡ x - 3 x 2 y - 2 x d x+ 2 y . s e n x - x 3 + ln ⁡ y d y = 0 , y 0 = e

Nos problemas 25-30, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada. 4 y + 2 x - 5 d x + 6 y + 4 x - 1 d y = 0 , y - 1 = 2