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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.9 - Ex. 8

Obtenha as coordenadas de a r c s i n h   , a r c c o s h e a r c t a n h derivando as equações x = sinh ⁡ y , x = cosh ⁡ y e x = tanh ⁡ y implicitamente.

Passo 1

Bom, para o arco seno, temos y = a r c s i n se e somente se x = sinh ⁡ y , assim derivando implicitamente:

1 = d y d x d x d y = d y d x cosh ⁡ y

Então,

d d x arcsin ⁡ x = d y d x = 1 cosh ⁡ y = 1 1 + sinh 2 ⁡ y = 1 1 + x 2

Passo 2

Para o arco cosseno, temos y = a r c c o s se e somente se x = cosh ⁡ y , assim derivando implicitamente:

1 = d y d x d x d y = d y d x sin h ⁡ y

Então,

d d x arc cos ⁡ x = d y d x = 1 sin h ⁡ y = 1 cos h 2 ⁡ y - 1 = 1 x 2 - 1 ,para x ≥ 1 .

Passo 3

E, por fim, para o arco tangente, temos y = a r c t a n h se e somente se x = tan h ⁡ y , assim derivando implicitamente:

1 = d y d x d x d y = d y d x sech 2 ⁡ y

Então,

d d x 1 - tanh 2 ⁡ y = 1 - x 2 ,para - 1 < x < 1

Prontinho!!

Resposta

1 1 + x 2 ,   1 x 2 - 1 e 1 - x 2 .

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