Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 49
Se onde é um número racional e , prove que se , o gráfico de terá dois pontos de inflexão e se , o gráfico de não terá pontos de inflexão.
Passo 1
Então pessoal, sempre que uma questão falar de pontos de inflexão, obrigatoriamente temos que descobrir a derivada segunda da função, ok? Vamos derivar duas vezes a função para deixar no esquema seus resultados, aí facilita bastante nosso raciocínio, ok? Para , temos:
Note que a regra utilizada aqui foi a regra da cadeia, ok? Simplificando, teremos:
Derivando novamente utilizando a regra da cadeia juntamente com a regra do produto, para teremos:
Simplificando, teremos:
Ahhh, mas por que você escreveu essa dessa forma? Calma que já vai fazer sentido, prometo!
Passo 2
De acordo com o Leithold, galera, um ponto qualquer só será um ponto de inflexão se o gráfico tiver nele uma reta tangente! Ademais, só conseguiremos analisar se o ponto é, de fato, um ponto de inflexão se analisarmos o sinal da derivada segunda de acordo com os intervalos de que a questão deu. Tá confuso? Vamos clarear isso aí, se liga! Para , temos:
Como essa seta de implica está correta? Saca só:
Que é exatamente a restrição dada pelo enunciado! Se, então a equação de será positiva, galera! Quando a derivada segunda existe em um ponto qualquer de inflexão, então a derivada segunda deverá ser zero nesse ponto! Sendo assim, concluímos que, de fato, se , então o gráfico de não terá pontos de inflexão.
Passo 3
Como a segunda hipótese se trata da existência de pontos de inflexão, então temos que a derivada segunda nesse ponto tem que ser zero, ou seja, . Substituindo , teremos:
Agora que encontramos os possíveis pontos de inflexão, galera, teremos que conferir se antes e depois desses pontos, a concavidade do gráfico se altera. Para os valores da raíz, sabemos que a derivada segunda dá zero, portanto:
Esses são os pontos de inflexão! Mas po, e os pontos que vêm antes e depois de e os pontos que vêm antes e depois de ? Como é negativo, galera, para , . Para , temos que . Para , temos que
Para chegar nessa conclusões, basta pensar em valores dentro do intervalo e substituir em , galera, assim como manda o manual do estudo de funções, beleza? Para facilitar a visualização, se montarmos uma tabela, teremos:
Note que inicialmente a concavidade é voltada para cima, depois há um ponto de inflexão (mudança de concavidade) e a mesma se volta para baixo. Em seguida, há mais um ponto de inflexão e concavidade volta a ser para cima. Sendo assim, fica provado que, de fato, o gráfico de tem dois pontos de inflexão quando .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)