Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.5 - Ex. 24

Nos Exercícios de 17 a 24, ache o ponto de inflexão do gráfico da função dada, se existir. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico.

Passo 1

Para começar precisamos determinar os pontos de inflexão do gráfico, ou seja, o ponto onde a função muda a direção da concavidade. Para descobrir estes pontos o primeiro passo é descobrir a derivada segunda da nossa função:

Uma vez descoberta a derivada segunda, os pontos de inflexão são caracterizados por . Neste caso, a função nunca será igual a 0 e não está definida no ponto

Passo 2

Segundo a Definição 4.5.4, determinado ponto c é de inflexão se passar por ele uma reta tangente e se a concavidade mudar de direção em valores maiores e menores que o ponto c.

A derivada primeira da função indica a inclinação da reta tangente àquele ponto. Sabendo que:

Lembrando que, para o limite bilateral existir os limites laterais direito e esquerdo devem ser iguais.

Então:

Ou seja, não há uma reta tangente que passa sobre o ponto .

Analogamente:

Analisando a mudança de direção da concavidade:

Sendo assim, não há reta tangente que passa por esse ponto e como a função não está definida em também não há mudança na concavidade, então não é um ponto de inflexão.