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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.5 - Ex. 26

Se f x = a x ³ + b x ² + c x , determine a ,   b   e   c ,   de forma que o gráfico de f tenha um ponto de inflexão em (1, 2) e que a inclinação da reta tangente no ponto de inflexão seja -2.

Passo 1

Para determinar os pontos de inflexão do gráfico, ou seja, o ponto onde a função muda a direção da concavidade, devemos obter a derivada segunda da nossa função:

f x = a x ³ + b x ² + c x

f ' x = 3 a x 2 + 2 b x + c

f ' ' x = 6 a x + 2 b

Uma vez descoberta a derivada segunda, os pontos de inflexão são caracterizados por f ' ' x = 0 .

Passo 2

Igualando f ' ' x :

6 a x + 2 b = 0

x = - 2 b 6 a

x = - b 3 a

Para que o ponto de inflexão seja (1, 2):

x = - b 3 a = 1

b = - 3 a

Substituindo em f x :

f 1 = a 1 3 - 3 a 1 2 + c ( 1 ) = 2

- 2 a + c = 2

c = 2 + 2 a

Como a inclinação da reta tangente no ponto (1,2) é -2:

f ' 1 = 3 a ( 1 ) 2 + 2 ( - 3 a ) ( 1 ) + 2 + 2 a = - 2

3 a - 6 a + 2 + 2 a = - 2

- a = - 2 - 2

a = 4

Então:

b = - 3 a = - 3.4 = - 12

c = 2 + 2 a = 2 + 2.4 = 10

Sendo assim:

f x = 4 x ³ - 12 x ² + 10 x

Resposta

a = 4 ,   b = - 12   e   c = 10

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