Enunciado

Uma partícula move-se ao longo de uma linha reta, em t segundos, s é a distância orientada da partícula até a origem, v m/s é a sua velocidade e a m/s² é a sua aceleração. (21) v = 2 t + 4   s ; s = 0     q u a n d o   t = 0 . Expresse s em termos de t.

Passo 1

Quando temos uma partícula se movendo em linha reta, podemos dizer que a equação de movimento é dada por s = f ( t ) , então a velocidade e a aceleração instantâneas podem ser determinadas pelas expressões v = d s d t   e   a = d v d t o u   a = d v d s d s d t   . Assim, se nos for dado v ou a como uma função de t, bem como condições nicias, é possível determinar a equação de movimento resolvendo uma equação diferencial.

O nosso exercício nos dá a veloidade como uma função do tempo e pede para que achemos a distância em termos do tempo. Vamos escrever a nossa equação diferencial.

v = d s d t = 2 t + 4 d s = 2 t + 4 d t d s = 2 t + 4 1 2 d t ∫ d s = ∫ 2 t + 4 1 2 d t

Passo 2

Resolvendo a integral teremos:

∫ d s = ∫ 2 t + 4 1 2 d t

Fazendo uma substituição de variável para resolver a integral temos: a = 2 t + 4 → d a = 2 d t → d a 2 = d t ∫ d s = ∫ a 1 2 d a 2 s = 1 2 a 3 2 3 2 + K s = 1 3 ( 2 t + 4 ) 3 / 2 + K

Passo 3

Aplicando as condições iniciais na equação encontrada:

s = 0   q u a n d o   t = 0 0 = 1 3 ( 2 * 0 + 4 ) 3 / 2 + K 0 = 8 3 + K K = - 8 3

Portanto,

s = 1 3 ( 2 t + 4 ) 3 / 2 - 8 3

Resposta

A solução completa da equação diferencial é:

s = 1 3 ( 2 t + 4 ) 3 / 2 - 8 3

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