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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.3 - Ex. 37

Uma mulher derruba o seu binóculo estando num balão a 150 m do solo, que está subindo com uma velocidade de 10   m / s . (a) Quanto tempo irá decorrer até o binóculo atingir o solo e qual a velocidade escalar dele no momento do impacto?

Passo 1

Se um objeto se move livremente numa reta vertical e está sendo puxado em direção à terra pela força da gravidad, a aceleração devido à gravidade, denotada por g m/s², varia com a distância do objeto ao centro da Terra. Entretando, para pequenas variações de distância, a aceleração, devido à gravidade, é quase constante e um valor aproximado de g, se o objeto estiver próximo ao nível do mar, será 10   m / s ² . Para esse tipo de exercício, continuam valendo as derivadas vistas para o movimento retilíneo, ou seja, v = d s d t   e   a = d v d t o u   a = d v d s d s d t = v d v d s   .

Vamos analisar nosso exercício. Um binóculo caiu do balã e vai até o solo. Sabemos a velocidade com que ela sai do balão (nossa velocidade inicial no instante t = 0 ) e suas alturas inicial e final. A figura a seguir ilustra a trajetória do binóculo.

Seja t o tempo que passou desde a queda do binóculo, s a distância percorrida pelo binóculo em t segundos, v a velocidade do binóculo e |v| a velocidade escalar da binóculo. Quando a binóculo atinge o chão, s = 0 . Sejam t f   e   v f os valores do tempo e da velocidade quando a binóculo atinge o chão. A única aceleração presente durante todo o movimento é a da gravidade, que é vertical e aponta para baixo. A tabela a seguir apresenta as condições iniciais que temos.

A aceleração tem um valor constante que tomaremos como - 10   m / s ² . Sabendo que a = d v / d t , temos:

a = d v d t = - 10 d v = - 10 d t ∫ d v = ∫ - 10 d t v = - 10 t + K 1

Passo 2

Aplicando as condições iniciais que temos:

v = 10   q u a n d o   t = 0

10 = - 10 * 0 + K 1

K 1 = 10

Portanto,

v t = - 10 t + 10

Passo 3

Sabemos que v = d s d t . Assim:

d s d t = - 10 t + 10 d s = - 10 t + 10 d t ∫ d s = ∫ - 10 t + 10 d t s = - 10 t 2 2 + 10 t + K 2 s = - 5 t 2 + 10 t + K 2

Passo 4

Aplicando as condições iniciais para a distância temos:

s = 150   q u a n d o   t = 0 150 = - 5 * 0 + 10 * 0 + K 2 K 2 = 150 Portanto,

s t = - 5 t 2 + 10 t + 150

Passo 5

Respondendo as alternativas agora:

  1. Quando o binóculo retorna ao solo, s = 0   e   t = t f . Substituindo na equação final da distância temos:

0 = - 5 t f 2 + 10 t + 150 0 = - t f 2 + 2 t + 30 t f 2 - 2 t - 30 = 0 t f = 2 ± 4 - 4 * 1 * - 30 2 t f = 1 ± 31 Como t = 1 - 31 nãop ode ser usada porque o tempo seria negativo, essa resposta não pode ser considerada. Logo, a binóculo leva t = 1 + 31   s ≅ 5,56   s para retornar ao solo.

A velocidade escalar que a bola atinge o solo pode ser calculada utilizando os dados do tempo que ela atinge o solo. Quando t = 1 + 31   s a velocidade da bola será:

v f = - 10 t v f = - 10 * ( 1 + 31 ) v f = - 10 - 10 31 v f   ≅ 65,67   m / s

Resposta

  1. O tempo de retorno ao solo é t = 5,56   s ;
  2. A velocidade escalar com qual a pedra atinge o solo é v f = 65,67   m / s ;
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