Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.3 - Ex. 23

Uma partícula move-se ao longo de uma linha reta, em t segundos, s é a distância orientada da partícula até a origem, v m/s é a sua velocidade e a m/s² é a sua aceleração. (23) a = 5 - 2 t   s ; v = 2   e   s = 0     q u a n d o   t = 0 . Expresse v e s em termos de t.

Passo 1

Quando temos uma partícula se movendo em linha reta, podemos dizer que a equação de movimento é dada por s = f ( t ) , então a velocidade e a aceleração instantâneas podem ser determinadas pelas expressões v = d s d t   e   a = d v d t o u   a = d v d s d s d t   . Assim, se nos for dado v ou a como uma função de t, bem como condições iniciais, é possível determinar a equação de movimento resolvendo uma equação diferencial.

O nosso exercício nos dá a aceleração como uma função do tempo e pede para que achemos a distância e a velocidade em termos do tempo. Vamos escrever a nossa equação diferencial.

a = d v d t = 5 - 2 t d v = ( 5 - 2 t ) d t ∫ d v = ∫ ( 5 - 2 t ) d t

Passo 2

Resolvendo a integral teremos:

∫ d v = ∫ ( 5 - 2 t ) d t

v = 5 t - 2 t 2 2 + K v = 5 t - t 2 + K

Passo 3

Aplicando as condições iniciais na equação encontrada:

v = 2   q u a n d o   t = 0 2 = 5 * 0 - 0 ² + K 2 = K K = 2

Portanto,

v = 5 t - t 2 + 2

Passo 4

Vamos agora encontrar a quação da distância em função de t:

v = d s d t = 5 t - t 2 + 2 d s = 5 t - t 2 + 2 d t ∫ d s = ∫ 5 t - t 2 + 2 d t s = 5 t 2 2 - t 3 3 + 2 t + K

Passo 5

Aplicando as condições iniciais temos:

s = 0   q u a n d o   t = 0 0 = 5 * 0 2 - 0 3 + 3 * 0 + K K = 0 Portanto,

s = 5 t 2 2 - t 3 3 + 2 t

Resposta

As expressões de v e s em função de t são:

v = 5 t - t 2 + 2

s = 5 t 2 2 - t 3 3 + 2 t

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma partícula move-se ao longo de uma linha reta, em t segundos, s é a distância orientada da partícula até a origem, v m/s é a sua velocidade e a m/s² é a sua aceleração. (27) a = 18 s e n 3 t ; v =
Uma partícula move-se ao longo de uma linha reta de tal forma que se v cm/s for a velocidade da partícula em t s, então v = s e nπ t , onde a direção positiva é à direita da origem. Se a partícula est
Se os freios dão uma aceleração negativa constante ao carro de 8 m/s², qual deverá ser a velocidade escalar máxima do carro, para que ele pare 25 m depois da freiada?
Uma bola é atirada de uma janela que está a 25 m do solo, com uma velocidade inicial de - 20 m/s. (a) Quando a bola atinge o solo? (b) Com que velocidade escalar ela irá atingir o solo?
Que aceleração negativa constante irá possibilitar a um motorista diminuir a velocidade escalar de seu carro de 120 km/h para 60 km/h, enquanto percorre uma distância de 100 m?