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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.Revisão - Ex. 73

Uma partícula move-se ao longo de uma reta, e s = s e n 4 t + π 3 + s e n 4 t + π 6

Onde s m é a distância da partícula até a origem no instante t s. prove que o movimento é harmônico simples.

Passo 1

Para que o movimento seja harmônico simples, a aceleração do corpo deve ser proporcional ao deslocamento s, e precisa assumir valor menor ou igual a zero, pois a força envolvida deve sempre ser contrária ao movimento da partícula.

Passo 2

Como precisamos primeiro da aceleração, faremos a primeira derivada da função dada no enunciado:

d s d t = d d t s e n 4 t + π 3 + s e n 4 t + π 6

Aplicando a Regra da Cadeia no primeiro termo da derivada:

d d t s e n 4 t + π 3 = c o s 4 t + π 3 d d t 4 t + π 3

d d t s e n 4 t + π 3 = 4 c o s 4 t + π 3

Faremos o mesmo para o segundo termo:

d d t s e n 4 t + π 6 = c o s 4 t + π 6 d d t 4 t + π 6

d d t s e n 4 t + π 6 = 4 c o s 4 t + π 6

Substituindo os resultados ficamos com:

v = d s d t = 4 c o s 4 t + π 3 + 4 c o s 4 t + π 6

E essa será a velocidade da partícula.

Passo 3

Agora calcularemos a aceleração:

d v d t = d d t 4 c o s 4 t + π 3 + 4 c o s 4 t + π 6

Aplicando a Regra da Cadeia novamente em cada termo:

d d t 4 c o s 4 t + π 3 = - 4 sen ⁡ 4 t + π 3 d d t 4 t + π 3

d d t 4 c o s 4 t + π 3 = - 16 sen ⁡ 4 t + π 3

No segundo:

d d t 4 c o s 4 t + π 6 = - 4 sen ⁡ 4 t + π 6 d d t 4 t + π 6

d d t 4 c o s 4 t + π 6 = - 16 sen ⁡ 4 t + π 6

Substituindo os resultados no início:

a = d v d t = - 16 sen ⁡ 4 t + π 3 - 16 sen ⁡ 4 t + π 6

a = - 16 sen ⁡ 4 t + π 3 + sen ⁡ 4 t + π 6

Passo 4

Podemos reescrever a equação em termos do deslocamento, pois o que está dentro dos colchetes é exatamente o deslocamento s:

s = s e n 4 t + π 3 + s e n 4 t + π 6

a = - 16 s

Como a aceleração é somente função do deslocamento, e é negativa, então o movimento é harmônico simples.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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