Em cada um dos problemas de 9 a 20:

(a) Encontre a solução do problema de valor inicial dado em forma explícita.

(b) Desenhe o gráfico da solução.

(c) Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida.

y' = (1 - 2x) * y^2

Passo 1

  1. A EDO acima, é do tipo que pode separar para calculcar a solução. A resolução dela é bem parecida com o que fizemos anteriormente em EDO de primeira ordem. Para que a resolução seja mais fácil, vamos substituir tal termo:

y '   =   d y / d x

d y d x = 1 - 2 x y 2

Agora, vamos deixar tudo que tem y de um lado e tudo que tem x do outro lado.

Assim, temos:

d y y 2 = ( 1 - 2 x ) d x

Agora para termos uma equação dependendo de y e de x, basta integrar dos dois lados

Integrando dos dois lados, temos:

∫ d y y 2 =   ∫ ( 1 - 2 x ) d x

- 1 y + c = x -   x + c '

- 1 y = x -   x 2 + C

No enunciado há uma informação de que y ( 0 )   =   -   1 / 6 . Vamos escrever a seguir a solução final que encontramos da EDO.

- 1 y = x -   x 2 + C

Ao substituir a informação encontramos o valor da constante C. Logo, temos:

- 1 - 1 / 6 = ( 0 )   -   ( 0 2 ) + C

C   = 6

Assim, a equação é:

y   =   1   /   x 2   - x   – 6

Passo 2

b)

Passo 3

  1. Temos como equação final da EDO o seguinte:

y   =   1   /   x 2   - x   – 6

Logo, essa parcela do denominador precisa ser diferente de zero.

Assim, temos:

Que para que isso não ocorra, x precisa respeitar tais condições:

x   ≠   3   e   x   ≠ - 2

Assim, o intervalo em que a dolução está definida é com:

- 2   <   x   <   3

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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