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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.2 - Ex. 16

Em cada um dos problemas de 9 a 20:

(a) Encontre a solução do problema de valor inicial dado em forma explícita.

(b) Desenhe o gráfico da solução.

(c) Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida.

y '   = x ( x 2 + 1 ) 4 y 3 ,   y ( 0 )   = - 1 / √ 2  

Passo 1

  1. A EDO acima, é do tipo que pode separar para calculcar a solução. A resolução dela é bem parecida com o que fizemos anteriormente em EDO de primeira ordem.

Agora, vamos deixar tudo que tem y de um lado e tudo que tem x   do outro lado. Antes, vamos substituir o y’ por d y d x .

Assim, temos:

d y d x = x ( x 2 + 1 ) 4 y 3

4 y 3   d y =   x ( x 2 + 1 )   d x

Agora para termos uma equação dependendo de y e de x, basta integrar dos dois lados

Integrando dos dois lados, temos:

∫ 4 y 3   d y =   ∫ x ( x 2 + 1 )   d x

Que é o mesmo que:

∫ 4 y 3   d y =   ∫ x 3 + x   d x

Integrando:

y 4 + c =   x 4 4 + x 2 2 +   c '  

y 4 = x 4 + 2 x 2 4 +   C  

Passo 2

No enunciado há uma informação de que   y ( 0 )   = - 1 / √ 2   . Vamos escrever a seguir a solução final que encontramos da EDO.

y 4 = x 4 + 2 x 2 4 +   C  

- 1 2 4 = 0 4 + 0 2 4 +   C  

Ao substituir a informação encontramos o valor da constante C. Logo, temos:

C = 1 4

Assim, a equação é:

y 4 = x 4 + 2 x 2 4 +   1 4

y = ± x 4 + 2 x 2 + 1 4 4

Isso é o mesmo que:

y = ± x 2 + 1 2 4 4

Então:

y = ± x 2 + 1 2

Lembrando que y 0 = - 1 / 2 , então a resposta só pode ser:

y = - x 2 + 1 2    

Passo 3

b)

Passo 4

  1. Temos como equação final da EDO o seguinte:

y = - x 2 + 1 2    

A única restrição aqui é que a raíz não pode ser negativa. Como x esta elevado ao quadrado e depois estamos somando + 1 , então isso é impossível. Assim, o intervalo em que a solução está definida é com:

- ∞ < x < + ∞  

Resposta

  1. y = - x 2 + 1 2    
  2. Esboço do gráfico
  3. - ∞ < x < + ∞  
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