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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.2 - Ex. 15

Em cada um dos problemas de 9 a 20:

(a) Encontre a solução do problema de valor inicial dado em forma explícita.

(b) Desenhe o gráfico da solução.

(c) Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida.

y '   =   2 x / ( 1   +   2 y ) ,   y ( 2 )   = 0  

Passo 1

  1. A EDO acima, é do tipo que pode separar para calculcar a solução. A resolução dela é bem parecida com o que fizemos anteriormente em EDO de primeira ordem.

Agora, vamos deixar tudo que tem y de um lado e tudo que tem x   do outro lado. Antes, vamos substituir o y’ por d y d x .

Assim, temos:

d y d x = 2 x / ( 1   +   2 y )

( 1   +   2 y )   d y =   2 x   d x

Agora para termos uma equação dependendo de y e de x, basta integrar dos dois lados

Integrando dos dois lados, temos:

∫ ( 1   +   2 y )   d y =   ∫ 2 x   d x

y   +   y 2 + c =   x 2 +   c '  

y   +   y 2 =   x 2 + C  

y   +   y 2 -   C =   x 2

No enunciado há uma informação de que   y ( 2 )   = 0 . Vamos escrever a seguir a solução final que encontramos da EDO.

y   +   y 2 =   x 2 + C  

Ao substituir a informação encontramos o valor da constante C. Logo, temos:

0   +   0 2 =   2 2 + C  

C   = - 4

Assim, a equação é:

y   +   y 2 =   x 2 - 4

y   +   y 2 +   1 / 4 =   4 x 2 - 15

( 2 y   +   1 ) 2 4   =   4 x 2 - 15 4

( 2 y   +   1 ) 2 = 4 x 2 - 15

( 2 y   +   1 ) = 4 x 2 - 15

2 y   = 4 x 2 - 15   –   1

y   = 4 x 2 - 15   -   1 2

Passo 2

b)

Passo 3

  1. Temos como equação final da EDO o seguinte:

y   = 4 x 2 - 15   -   1 2

Assim, temos:

Para saber o intervalo, precisamos achar as raízes da equação quando o y for zero.

Assim, temos que o intervalo em que a solução está definida é com:

x   > √ 1 5 / 2  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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