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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.2 - Ex. 5

Em cada um dos problemas de 1 a 8, resolva a equação diferencial dada.

y ' = ( c o s 2 x ) ( c o s 2 2 y )

Passo 1

A EDO acima, é do tipo que pode separar para calculcar a solução. A resolução dela é bem parecida com o que fizemos anteriormente em EDO de primeira ordem, só que agora antes de calcular a EDO precisamos de algumas manobras matemáticas.

Vamos considerar o seguinte:

Sabemos que y ' =   d y d x , vamos substituir na equação

d y d x = ( c o s 2 x ) ( c o s 2 2 y )

Passo 2

Agora, vamos deixar tudo que tem y de um lado e tudo que tem x do outro lado.

Assim, temos:

  d y ( c o s 2 2 y ) =   ( c o s 2 x ) d x

Agora para termos uma equação dependendo de y e de x, basta integrar dos dois lados.

Passo 3

Integrando dos dois lados, temos:

∫ d y ( c o s 2 2 y ) =   ∫ ( c o s 2 x ) d x

∫ d y ( c o s 2 2 y ) =   ∫ 1 + c o s ⁡ ( 2 x ) 2 d x

tan ⁡ 2 y 2 + c = x 2 + s e n   2 x 4 + c '

tan ⁡ 2 y 2 = x 2 + s e n   2 x 4 + C

tan ⁡ 2 y 2 = 2 x + s e n   2 x 4 + C

∴

tan ⁡ 2 y = 2 x + s e n   2 x 2 + C

Condição para que essa EDO exista é que o c o s   2 y ≠ 0

Resposta

tan ⁡ 2 y = 2 x + s e n   2 x 2 + C ,com cos ⁡ 2 y   ≠   0

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