Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 10
Nas partes (a) e (b) do problema 9, verifique se o peso passa pela posição de equilíbrio. Em cada caso, calcule o instante no qual o peso atinge seu deslocamento extremo em relação à posição de equilíbrio. Qual a posição do peso nesse instante?
Passo 1
Cara, vamos lá
Nas letras a e b da questão 9, encontramos, respectivamente
E
Agora é o seguinte: para cada uma dessas equações, vamos analisar se o peso passa por e depois em qual tempo ele passa pelo deslocamento extremo (e qual é a posição desse deslocamento extremo), bora lá
Passo 2
Vamos começar pela equação da 9a, ta bom?
Temos
Vamos igualar a para vermos se o peso passa pela posição de equilíbrio:
Eita cara, a única solução pra isso é um negativo, mas não estamos trabalhando com tempo negativo aqui
Então, o peso nesse caso nunca passa pela posição de equilíbrio, fechou?
Passo 3
Agora, ainda para a equação da 9a, vamos ver o deslocamento extremo
Temos
Pra começar, vamos derivar :
Agora vamos igualar isso a 0 para encontrarmos os de extremo:
Belezinha, o tempo que o peso tem deslocamento extremo é
Agora vamos substituir isso em pra vermos a posição:
Finalizamos a análise da equação da 9a, agora vamos pra 9b
Passo 4
Na 9b, temos
Vamos começar vendo se o peso passa pela posição de equilíbrio, pra isso, igualamos a :
Então, no caso da 9b, o peso passa pela posição de equilíbrio em
Passo 5
Agora, ainda para a equação da 9b, vamos ver o deslocamento extremo
Temos
Para começar, vamos derivar :
Agora vamos igualar isso a 0 para encontrarmos os extremos:
Então, o deslocamento extremo acontece em
Vamos substituir isso em para vermos qual a posição:
E essa é a posição no deslocamento extremo :)
Resposta
Em 9a, o peso não passa pela posição de equilíbrio, tem deslocamento extremo em , quando a posição vale .
Em 9b, o peso passa pela posição de equilíbrio em , tem deslocamento extremo em , quando a posição vale .