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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 14

Um peso de 0,75 é atado a uma mola cuja constante elástica vale 6   N / m . O movimento subsequente está sujeito a uma força de resistência numericamente igual a β ( β > 0 ) vezes a velocidade instantânea. Se o peso parte da posição de equilíbrio com velocidade de 2   m / s para cima, mostre que, se β > 3 2 , a equação de movimento é

x t = - 3 β 2 - 18 e - 2 β t 3 s e n h 2 3 β 2 - 18 t

Passo 1

Vamos começar!

Temos que montar a nossa equação diferencial

Para isso, vamos lembrar do modelo de um sistema massa mola amortecido:

m d 2 x d t 2 + β d x d t + k x = 0

No nosso caso, temos m = 0,75   k g = 3 4 k g , k = 6   N / m , e o β é justamente o parâmetro que vamos analisar:

3 4 d 2 x d t 2 + β d x d t + 6 x = 0

Além disso, o peso parte da posição de equilíbrio com velocidade de 2   m / s para cima, então

x 0 = 0

x ' 0 = - 2

Passo 2

Vamos montar a nossa equação auxiliar

Temos

3 4 d 2 x d t 2 + β d x d t + 6 x = 0

Então, a equação auxiliar é

3 4 m 2 + β m + 6 = 0

As raízes dessa equação são:

m = - β ± β 2 - 4 . 3 4 . 6 2 . 3 4

m = - β ± β 2 - 18 3 2

m = - 2 β ± 2 β 2 - 18 3

Se β > 3 2 , o nosso ∆ = β 2 - 18 vai ser positivo

E aí a solução da equação diferencial vai ser

x = e - 2 β t 3 c 1 . cosh ⁡ 2 3 β 2 - 18 t + c 2 . s e n h 2 3 β 2 - 18 t

Mas temos as condições iniciais:

x 0 = 0

x ' 0 = - 2

Aplicando as condições iniciais, encontramos c 1 = 0 e c 2 = - 3 β 2 - 18 , então:

x = e - 2 β t 3 0 . cosh ⁡ 2 3 β 2 - 18 t - 3 β 2 - 18 . s e n h 2 3 β 2 - 18 t

= e - 2 β t 3 - 3 β 2 - 18 . s e n h 2 3 β 2 - 18 t

E ta provadoooo

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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