Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 8
Uma mola de 4 cm de comprimento passa a medir 8 cm após um peso de 0,5 kg ser atado a ela. O meio no qual o peso se move oferece uma resistência numericamente igual a vezes a velocidade instantânea. Encontre a equação do movimento se o peso for solto na posição de equilíbrio com uma velocidade de para baixo. Encontre o instante em que o peso atinge seu deslocamento extremo em relação à posição de equilíbrio. Qual é a posição do peso nesse instante?
Passo 1
Falaa meu jovem, vamos lá?
O primeiro passo nesse exercício é montarmos o nosso problema de valor inicial
Para isso, vamos lembrar do modelo de um sistema massa mola amortecido:
No nosso caso, temos , e como “O meio no qual o peso se move oferece uma resistência numericamente igual a vezes a velocidade instantânea”, temos .
Para encontrarmos o valor de , vamos fazer:
Então:
O enunciado também fala que “o peso é solto na posição de equilíbrio com uma velocidade de para baixo”
Então temos:
Agora precisamos resolver esse PVI ta bom?
Passo 2
Temos:
Isso aí é uma equação diferencial linear de segunda ordem, que tem como solução geral:
Aplicando as condições iniciais, temos
Passo 3
Agora vamos calcular o instante em que o peso atinge seu deslocamento extremo, bora:
Primeiro temos que achar a derivada de :
Agora vamos encontrar o ponto extremo igualando isso a 0:
Agora vamos substituir esse ponto de extremo na nossa função , que aí a gente vai ter a posição do peso nesse momento de extremo:
Ufa, acabamossss
Esse exercício ficou mais bizarrinho do que a gente esperava por causa das conversões galera
Teoricamente, a resolução desse livro usaria lá no passo 1, mas como a gente é brasileiro, usamos beleza? Uahsuahsuahs por isso ficou tudo meio bugadinho
