Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.6 - Ex. 19
Uma piscina é construída na forma de um paralelepípedo retangular com de profundidade, 4,5 de largura e de comprimento.
- Se ela for preenchida até abaixo do topo, qual é o trabalho necessário para bombear toda água para dentro de um ralo em sua beirada?
- Um motor de 1 cavalo de potência pode realizar . Qual é a potência necessária para um motor esvaziar a piscina em 1 h?
Passo 1
(a) Vamos usar nossa criatividade para interpretar esse problema. Queremos o trabalho para bombear toda a água para cima, onde o ralo está. Podemos cortar nosso volume de líquido em fatias bem fininhas e considerar que a força para mover uma fatia é constante e deve superar a força peso.
Aí lembramos que para uma força constante:
Para descobrimos o trabalho total, devemos somar o trabalho realizado em cada fatia. Vamos lá!
Passo 2
Vamos descobrir o valor da força por fatia.
Já que nossas fatias são bem finas, podemos dizer que elas têm uma altura infinitesimal .
Logo, o volume fica:
Para achar a força peso, podemos multiplicar o volume pela densidade de peso da água que é igual a . E como queremos que a força por fatia supere a força peso:
Passo 3
Precisamos entender agora como é o nosso valor de para cada fatia:
Repara que podemos escrever:
Sendo que vai de a.
Passo 4
O trabalho fica com essa carinha:
Mas queremos o trabalho total. Lembra que integrar também é calcular somatório:
Passo 5
(b) Podemos usar nosso resultado para o trabalho total e uma regrinha de três para responder essa. Se um motor de 1 cavalo realiza , quantos cavalos a gente precisa para fazer em uma hora?
Convertendo os valores, esse motor faz . (só multiplicar por . Assim se for a potência necessária que procuramos, podemos escrever: