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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.6 - Ex. 15

Resolva o Exercício 14 supondo que o tanque de água esteja cheio até a metade.

Passo 1

Vamos usar nossa criatividade para interpretar esse problema. Queremos o trabalho para bombear toda a água para cima. Podemos cortar nosso volume de água em fatias bem fininhas e considerar que a força para mover uma fatia é constante e deve superar a força peso.

Aí lembramos que para uma força constante:

W = F f a t i a d

Para descobrimos o trabalho total, devemos somar o trabalho realizado em cada fatia. Vamos lá!

Passo 2

Vamos descobrir o valor da força por fatia.

Já que nossas fatias são bem finas, podemos dizer que elas têm uma altura infinitesimal d x e raio de 5   p é s . Logo, o volume delas é:

V = 5 2 π d x = 25 π d x   p é 3

Para achar a força peso, podemos multiplicar o volume pela densidade de peso da água que é igual a 62,4   I b / p é 3 . E como queremos que a força por fatia supere a força peso:

F f a t i a = P = 62,4 V = 1560 π d x   I b

Passo 3

Precisamos entender agora como é o nosso valor de d para cada fatia:

Repara que podemos escrever:

d = 9 - x   p é s

Sendo que x vai de 0 a 4,5   p é s .

Passo 4

O trabalho fica com essa carinha:

W f a t i a = F d =   1560 π d x ⋅ 9 - x = 1560 π 9 - x d x  

Mas queremos o trabalho total. Lembra que integrar também é calcular somatório:

W t o t a l = ∫ 0 4,5 1560 π 9 - x d x = 47385   π   p é s ⋅ I b

Resposta

W t o t a l = 47385   π   p é s ⋅ I b

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